Enunciado

Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado

f x = 3 x 2 - 12 x + 5     ,   [ 0,3 ]

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui queremos encontrar os pontos críticos da nossa função, no intervalo dado.

Iremos avaliar o valor de f ( x ) em cada um dos pontos críticos e também nos pontos extremos. Entre estes, o valor máximo de f ( x ) é o máximo absoluto. E, o valor mínimo de f ( x ) é o mínimo absoluto. Note que haverá apenas um máximo absoluto e um mínimo absoluto. Além disso, observe que tudo isso é verdade apenas quando os intervalos são fechados.

Método do Intervalo Fechado: usamos para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos de uma função contínua f em um intervalo fechado [ a , b ]

1. Encontre os valores de f nos números críticos de f em ( a , b )

- Números críticos são os pontos no domínio da função onde a derivada f ' ( x ) é zero ou não está definida. Para encontrar esses pontos:

- Calcule a derivada f ' ( x ) ;.

- Resolva a equação f ' x = 0 para encontrar os valores de x que são números críticos.

- Verifique também onde f ' ( x ) não está definida dentro do intervalo a , b .

2. Encontre os valores de f nas extremidades do intervalo:

- Avalie a função   f   nos pontos (   a �� )   e   (   b   ) .

- Esses pontos são importantes porque, em um intervalo fechado, os valores máximos e mínimos absolutos podem ocorrer nas extremidades.

3.Determine os valores máximos e mínimos absolutos:

- Compare os valores de f obtidos nos passos 1 e 2.

- O maior valor entre esses é o valor máximo absoluto da função no intervalo a ,   b .

- O menor valor entre esses é o valor mínimo absoluto da função no intervalo [ a ,   b ] .

Passo 2

Primeiramente, necessitamos calcular a derivada de f para encontrar os números críticos. Pontos críticos de f ( x ) são os valores de x para os quais f ' ( x ) não existe, ou se existe, é igual a zero.Então

f ' x = 6 x - 12

Igualando a zero

6 x - 12 = 0

6 x = 12

x = 2

Precisamos calcular f 0 ,   f ( 2 ) e f ( 3 ) .

Daí

f 0 = 5

f 2 = - 7

f 3 = - 4

Com isso, podemos perceber que f 0 = 5 é um ponto de máximo absoluto e f 2 = - 7 é um ponto de mínimo absoluto.

Resposta

f 0 = 5 é um ponto de máximo absoluto e f 2 = - 7 é um ponto de mínimo absoluto.

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