Enunciado

Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de θ em coordenadas cartesianas.

r = 1 + 2 cos ⁡ 2 θ

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação polar:

r = 1 + 2 cos ⁡ 2 θ

Queremos esboçar a sua curva polar.

Mas antes temos que esboçar a curva r θ em coordenadas cartesianas.

Assim, para montar essa primeira curva, podemos comparar a função que nos foi dada com uma função parecida que já sabemos como se plota.

Em seguida, vamos analisar como o valor de r varia a cada θ = π 2 (em cada quadrante) para podermos plotar a curva polar.

É sempre bom relembrar que nas equações polares o r representa a distância do ponto até a origem e o θ o ângulo do ponto em relação ao eixo horizontal positivo.

Passo 2

Vamos analisar a nossa função:

r = 1 + 2 cos ⁡ 2 θ

A gente pode partir da curva r θ = cos ⁡ θ , né? Essa a gente sabe que é dada da seguinte forma:

Comparando as expressões, vemos na equação do enunciado:

  • Temos a soma " 1 + " : isso significa que nosso gráfico “sobe” em uma unidade;
  • Temos o argumento " 2 θ " : isso significa que nossa curva é “comprimida” em uma proporção de duas vezes;
  • Temos um " 2 "   multiplicando o cosseno: isso significa que a amplitude do nosso gráfico dobra.

Assim, com essas informações, temos a curva r θ = 1 + 2 cos ⁡ 2 θ em vermelho:

Passo 3

Para plotarmos na forma polar, primeiramente vamos calcular valores de r para alguns valores de θ (você pode conferir com os valores do gráfico do passo anterior também 😉).

Vamos calcular para 0 , π 2 ,   π , 3 π 2 e 2 π (ou seja, uma volta completa).

Primeiramente para θ = 0 :

r 0 = 1 + 2 cos ⁡ 2 ⋅ 0

r 0 = 3

Assim, o r do nosso gráfico começará e em 3 .

Passo 4

Para θ = π 2 , temos:

r π 2 = 1 + 2 cos ⁡ 2 ⋅ π 2

r π 2 = 1 + 2 cos ⁡ π

r π 2 = - 1

Assim, no primeiro quadrante a gente começa com r = 3 e finaliza com r = - 1 .

Passo 5

Para θ = π , temos:

r π = 1 + 2 cos ⁡ 2 π

r π = 1 + 2

r π = 3

Assim, no segundo quadrante a gente começa com r = - 1 e finaliza com r = 3 .

Passo 6

Para θ = 3 π 2 , temos:

r 3 π 2 = 1 + 2 cos ⁡ 2 ⋅ 3 π 2

r 3 π 2 = 1 + 2 cos ⁡ 3 π

r 3 π 2 = 1 - 2

r 3 π 2 = - 1

Assim, no terceiro quadrante a gente começa com r = 3 e finaliza com r = - 1 .

Passo 7

Para θ = 2 π , temos:

r 2 π = 1 + 2 cos ⁡ 2 ⋅ 2 π

r 2 π = 1 + 2 cos ⁡ 4 π

r 2 π = 1 + 2

r 2 π = 3

Assim, no quarto quadrante a gente começa com r = - 1 e finaliza com r = 3 .

Passo 8

Com base no que descrevemos nos passos anteriores, ao analisar cada quadrante, temos a seguinte curva:

Resposta

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Esboce a curva com equação dada.r = s e n 5 theta
Esboce a curva com equação dada.r^2 = s e n 2 theta
Conecte as curvas polares com seus respectivos gráficos I-VI. r = sec ⁡ 3 θ
Conecte as curvas polares com seus respectivos gráficos I-VI. r = θs e nθ
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