Enunciado

f x = x + 2 , - 2 ≤ x < 0 , 2 - 2 x , 0 ≤ x < 2  

f x + 4 = f ( x )

(a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.

(b) Encontre a série de Fourier para a equação dada.

(c) Faça o gráfico da soma parcial s m ( x ) em função de x para m = 5, 10 e 20.

(d) Descreva como a série de Fourier parece estar convergindo.

Passo 1

O item (a) nos pede para desenhar o gráfico da função. A nossa função é y = x + 2 para o intervalo - 2 ≤ x < 0 e y = 2 - 2 x para 0 ≤ x < 2 . O que vamos fazer é esboçar a função para este período e estendê-la para um perído anterior e para o perído seguinte. Ficamos então com algo da forma:

Passo 2

Vamos agora para o item (b). Ele nos pede para encontrar a série de Fourier para a função f ( x ) . A série de Fourier é uma equação da forma:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 m a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L

Precisamos então obter os termos a 0 ,   a n ,   b n e L . O intervalo de uma função escrita como série de Fourier é definido como - L ≤ x < L . Então, para a nossa função L = 2 . Tudo bem?

O próximo passo é o cálculo dos coeficientes. O coeficiente a 0 é definido por:

a 0 = 1 L ∫ - L L f x d x

a 0 = 1 2 ∫ - 2 0 x + 2 d x + ∫ 0 2 2 - 2 x d x

a 0 = 1 2 x 2 2 + 2 x - 2 0 + 2 x - x 2 0 2

a 0 = 1 2 - 4 2 - - 4 + 4 - 4 = 1

Agora vamos determinar a n :

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x

a n = 1 2 ∫ - 2 0 x + 2 cos ⁡ n π x 2 d x + ∫ 0 2 2 - 2 x cos ⁡ n π x 2 d x

a n = 1 2 2 n π x sen ⁡ n π x 2 - 2 0 - 2 n π ∫ - 2 0 sen ⁡ n π x d x + 4 n π sen ⁡ n π x 2 - 2 0 + 4 n π sen ⁡ n π x 2 0 2 - 4 n π x sen ⁡ n π x 2 0 2 + 4 n π ∫ 0 2 sen ⁡ n π x d x

a n = 1 2 2 n π x sen ⁡ n π x 2 - 2 0 - 2 n π ∫ - 2 0 sen ⁡ n π x d x - 4 n π x sen ⁡ n π x 2 0 2 + 4 n π ∫ 0 2 sen ⁡ n π x d x

a n = 1 2 2 n π 0 - - 2 sen ⁡ - n π + 4 n π 2 cos ⁡ n π x 2 - 2 0 - 4 n π 2 sen ⁡ n π - 0 - 8 n π 2 cos ⁡ n π x 2 0 2

a n = 1 2 4 n π 2 1 - cos ⁡ - n π - 8 n π 2 cos ⁡ n π - 1

a n = 1 2 12 n π 2 1 - cos ⁡ n π

a n = 6 n π 2 1 - cos ⁡ n π

Por fim, vamos calcular b n :

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x

b n = 1 2 ∫ - 2 0 x + 2 sen ⁡ n π x 2 d x + ∫ 0 2 2 - 2 x sen ⁡ n π x 2 d x

b n = 1 2 - 4 n π cos ⁡ n π x 2 - 2 0 - 4 n π cos ⁡ n π x 2 0 2 - 2 n π x cos ⁡ n π x 2 - 2 0 + 2 n π ∫ - 2 0 cos ⁡ n π x d x + 4 n π x cos ⁡ n π x 2 0 2 - 4 n π ∫ 0 2 cos ⁡ n π x d x

b n = 1 2 - 4 n π 1 - cos ⁡ - n π + cos ⁡ n π - 1 - 2 n π 0 - - 2 cos ⁡ - n π + 4 n π 2 cos ⁡ n π - 0 + 4 n π 2 sen ⁡ n π x 2 - 2 0 - 8 n π 2 sen ⁡ n π x 2 0 2

b n = 1 2 - 4 n π cos ⁡ n π + 8 n π cos ⁡ n π + + 4 n π 2 0 - sen ⁡ - n π - 8 n π 2 ( sen ⁡ n π - 0 )

b n = 1 2 ( 4 n π cos ⁡ n π )

b n = 2 n π cos ⁡ n π

Aplicando na função:

f x = 1 2 + ∑ n = 1 m 6 n π 2 1 - cos ⁡ n π cos ⁡ n π x 2 + 2 n π cos ⁡ n π sen ⁡ n π x 2

A soma 1 - cos ⁡ n π é zero para n par e 2 para n ímpar. Então, para o somatório da parte cosseno apenas interessam os valores de n ímpar. Certo?

Então, para a parte cosseno vamos substituir 1 - cos ⁡ n π ) = 2 e n por 2 n - 1 , para assegurar que apenas serão contabilizados os valores ímpares de n . Ficamos então com:

f x = 1 2 + 6 x 2 π 2 ∑ n = 1 m cos ⁡ 2 n - 1 π x 2 2 n - 1 2 + 2 π ∑ n = 1 m cos ⁡ n π n sen ⁡ n π x 2

Como cos ⁡ n π só possui valor 1 para n par e - 1 para n ímpar vamos reescrevê-lo como:

cos ⁡ n π = - 1 n

Então

f x = 1 2 + 12 π 2 ∑ n = 1 m cos ⁡ 2 n - 1 π x 2 2 n - 1 2 + 2 π ∑ n = 1 m - 1 n n sen ⁡ n π x 2

Passo 3

Vamos agora para o item (c). Ele nos pede para montar os gráficos de s m ( x ) para 5, 10 e 20 termos. Com o auxílio de Excel podemos montar o somatório para m = 5 , 10 e 20. A seguir são mostrados os gráficos das somas e da função:

Vamos agora responder o item (d). A partir da análise do gráfico podemos ver que a série de Fourier converge para a função f ( x ) . Alternativamente podemos verificar que os valores de a n e b n decrescem com o aumento de n :

Como isso acontece, o esperado é que para n → ∞ , a n , b n → 0 , e por isso, para um n suficientemente grande, o valor do somatório deve convergir para um valor único.

Resposta

(a)

(b) f x = 1 2 + 12 π 2 ∑ n = 1 m cos ⁡ 2 n - 1 π x 2 2 n - 1 2 + 2 π ∑ n = 1 m - 1 n n sen ⁡ n π x 2

(c)

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Em cada um dos problemas de 13 a 18: (a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos. (b) Encontre a série de Fourier da função dada. f x = 1 ,- L ≤ x0 , 0 , 0 ≤ x1 ; f x + 2 L = f ( x )
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine se a função dada é periódica. Se for, encontre seu período fundamental. sen ⁡ 5 x
Se f x = x + 1 ,s e - 1x0 x ,s e0x1 se f x + 2 = f ( x ) , encontre uma fórmula para f ( x ) no intervalo 1x2 e no intervalo 8x9 .
Em cada um dos problemas de 13 a 18: (a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos. (b) Encontre a série de Fourier da função dada. f x = 0 , - 2 ≤ x ≤ - 1 , x , - 1x1 ; 0 ,1 ≤ x2 ; f x + 4 =
Em cada um dos problemas de 13 a 18: (a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos. (b) Encontre a série de Fourier da função dada. f x = x , - π ≤ x0 , 0 , 0 ≤ xπ ; f x + 2 π = f ( x )