Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 1.4 - Ex. 5

Escreva uma equação que defina a função exponencial com base

Qual é o domínio dessa função?

Se , qual a imagem dessa função?

Esboce a forma geral do gráfico da função exponencial nos seguintes casos.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente (a) escrever uma equação que defina uma função exponencial com base posita, , (b) determinar o domínio dessa função, (c) determinar a sua imagem considerando e (d) esboçar a forma geral do gráfico da função exponencial para os casos:

Então, vamos lembrar da definição de função exponencial, que tem sempre uma base positiva e uma variável no expoente. Determinar seu domínio, considerando todos os valores que pode assumir na função e determinar sua imagem, considerando todos os valores que irá assumir na função.

E por fim, vamos esboçar o gráfico da função exponencial nos intervalos onde a base é positiva, onde ela é igual a e quando ela está entre e .

Vamos lá!

Passo 2

(a) O que nós precisamos lembrar é que a função exponencial, em geral, tem a forma:

onde é uma constante positiva () e o seu expoente é a sua variável, por definição.

É importante a gente perceber também que o exercício define que a base deve ser positiva porque, quando é uma fração, teremos uma raiz. E quando o denominador dessa fração for par, teremos uma raiz de índice par (como a raiz quadrada), que não aceita números negativos no radicando. Então, para garantir que não vamos ter problema com isso, a base tem que ser positiva, beleza?

Passo 3

Agora, para a letra (b) queremos o domínio da função .

Nesse caso, a variável pode assumir qualquer valor entre os números reais.

Se for uma fração, vai ser uma raiz. Exemplo:

Se for negativo, vamos ter uma inversão:

Se for não depende do valor de :

Então, o domínio é o conjunto dos reais mesmo.

Passo 4

Na letra (c) queremos definir a imagem de , considerando .

Para isso, lembra que a base é positiva? Então, não vai poder assumir valores negativos, porque uma potência (ou raiz, se o expoente for uma fração) de um número positivo será sempre outro número positivo.

Como não existe número que elevado a outro que dê zero, o também não pertence à imagem da . E imagem é, então definida no intervalo aberto:

Passo 5

Por último, na letra (d), queremos a forma geral do gráfico. Isso quer dizer que vamos ter que esboçar, indicar apenas a forma, nada exato.

Para (i) , a função vai crescer muito rápido conforme vai aumentando.

Quando , a função é

porque qualquer número elevado a zero é um. Ou seja, independentemente do valor de , a função vai valer em . Isso quer dizer que a curva da exponencial vai cortar o eixo no ponto e gráfico, então, fica assim: