Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.4 - Ex. 15
Nos exercícios e , despreze a resistência do ar e tome .
Todos sabem que David matou Golias com uma pedrada, bem certeira, arremessada por uma funda. O que nem todos sabem é que David estava a metros de Golias no momento em que a pedra foi arremessada, e que este corria na direção de David a . Determine as equações paramétricas da trajetória da pedra de David, sabendo que ela foi lançada a com a horizontal. Qual a distância entre David e Golias quando a pedra atingiu Golias? (considere desprezível a altura dos dois).
Passo 1
Beleza galera, vamos lá. Pra começar, vamos considerar o seguinte, seja a parametrização da posição da pedra:
Temos também:
Partindo da última equação, seja , como a única aceleração que temos é o da gravidade:
Logo:
Começando com . Isso só é possível se . Seja a velocidade da pedra:
Onde é o módulo da velocidade inicial de lançamento (que o enunciado não deu). Temos então que:
Seguindo a mesma lógica da segunda derivada pra primeira, fazemos agora pra primeira. Somente uma reta é capaz de ter derivada constante. Logo:
Onde é a posição inicial da pedra. Agora pra equação , podemos seguir a mesma lógica e:
Mais uma vez, agora pra achar a posição , temos:
Onde também diz respeito a posição inicial da pedra. A parametrização final do vetor posição da pedra é:
Passo 2
Agora vamos responder a segunda coisa que o enunciado pediu. Olha, como a gente quer saber distâncias, vamos olhar só pra:
Considerando que a pedra e David estavam no mesmo lugar no instante inicial e sendo essa a origem do movimento, simplificamos e logo:
Show, agora vamos parametrizar , a posição de Golias. Como ele tava andando na direção do David a uma velocidade constante, temos que:
Antes dele começar a correr, ele estava a de David, logo:
Beleza, mas qual será o instante de tempo em que a pedra e Golias tem a mesma posição? Pra isso basta fazer:
E como a posição do David é fixa em , a posição do Golias já é a distância que queremos entre David e Golias! Ou seja, vamos ter:
Resposta
- O enunciado não fornece informações o suficiente pra determinar