Enunciado

Nos Exercícios 21-42, determine a derivada de y em relação à variável apropriada.

41-

y = x sin - 1 ⁡ x + 1 - x 2

Passo 1

Fazendo a derivada em relação a x d d x da função acima temos:

d y d x = x ' sin - 1 ⁡ x + x ( sin - 1 ⁡ x ) ' - 2 x 2 1 - x 2

Arrumando a casa temos:

d y d x = sin - 1 ⁡ x + x d d x ( sin - 1 ⁡ x ) - x 1 - x 2

Passo 2

Fazendo a derivada do arco seno nós temos:

z = sin - 1 ⁡ x

x = sin ⁡ z

Fazendo a derivada em relação a x .

1 = d z d x × cos ⁡ z

d z d x = 1 cos ⁡ z

Como cos ⁡ z   é:

cos 2 ⁡ z + sin 2 ⁡ z = 1

cos ⁡ z = 1 - sin 2 ⁡ z

E sin ⁡ z = x

d z d x = 1 1 - x 2

Como z = sin - 1 ⁡ x

d d x ( sin - 1 ⁡ x ) = 1 1 - x 2

Passo 3

Substituindo o resultado da derivada em x de sin - 1 ⁡ x na equação final do passo 1 .

d y d x = sin - 1 ⁡ x + x × 1 1 - x 2 ⁡ - x 1 - x 2

Cortando os dois últimos termos que são iguais temos:

d y d x = sin - 1 ⁡ x

Resposta

d y d x = sin - 1 ⁡ x

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