Enunciado

Nos exercícios de 39 a 46 , encontrar a integral que dá o comprimento total da curva dada.

Passo 1

Sabendo que a equação que define o comprimento de arco de uma curva é dada por:

s = ∫ θ 0 θ 1 f ' θ 2 + f θ 2 d θ

Se torna necessário definir a primeira derivada da função da curva fornecida no enunciado e o intervalo de integração necessário.

Para auxiliar na resolução do exercício, pode-se notar que a equação dada representa uma rosácea visto que ela tem a forma de:

r = a c o s n θ

Além disso, como n é par neste caso, a rosácea terá 2 n pétalas sendo que metade da primeira pétala é formada no intervalo [ 0 ,   π / 8 ] . Com isso, o comprimento total se dará por 4 n

Vezes o resultado obtido (onde n = 4 para este exercício).

Passo 2

Logo, o que deve ser determinado é:

d d θ r = d d θ 4 c o s 4 θ = - 16 s e n 4 θ

Portanto, substituindo na equação do comprimento de curva:

s = 4 4 ∫ 0 π / 8 - 16 s e n 4 θ 2 + 4 c o s 4 θ 2 d θ

s = 1 6 ∫ 0 π / 8 16 c o s 2 4 θ + 16 2 s e n 2 4 θ d θ

Logo:

s = 1 6 ∫ 0 π / 8 16 c o s 2 4 θ + 16 s e n 2 4 θ d θ

Portanto:

s = 64 ∫ 0 π / 8 c o s 2 4 θ + 16 s e n 2 4 θ d θ

Resposta

64 ∫ 0 π / 8 c o s 2 4 θ + 16 s e n 2 4 θ d θ

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