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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 59

Nos exercícios 55-62, determine a derivada de y com relação a x , t ou θ , conforme o caso

y = ln ⁡ e θ 1 + e θ

Passo 1

Sempre que tiver um log, vamos ver se não conseguimos usar as propriedades para facilitar a função:

y = ln ⁡ ( e θ ) - ln ⁡ 1 + e θ = θ - ln ⁡ ( 1 + e θ )

Antes de sair derivando, precisamos sempre verificar se não existe nenhuma função dentro da outra. Em termos matemáticos, temos que ver se não existe nenhuma composta!

Caso tenha, precisamos usar a regra da cadeia.

Passo 2

Para o segundo termo vamos usar a regra cadeia uma vez que é a composição de f θ = ln ⁡ θ com g θ = 1 + e θ . Assim, pela regra da cadeia

ln ⁡ 1 + e θ ' = f ' g θ ⋅ g ' θ

Passo 3

Precisamos obter então f ' e g ' . A primeira derivada sai direto da tabela de derivadas e vale

f ' θ = 1 θ

A segunda derivada também sai da tabela e vale

g ' θ = 1 ' + e θ ' = 0 + e θ = e θ

Logo,

ln ⁡ 1 + e θ ' = 1 1 + e θ ⋅ e θ = e θ 1 + e θ

Passo 4

Juntando tudo temos que

y ' = θ ' - ln ⁡ 1 + e θ ' = 1 - e θ 1 + e θ

Resposta

y ' = 1 - e θ 1 + e θ

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