Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 22
Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:
22. , onde é a intersecção das superfícies e do ponto ao ponto .
Passo 1
Bom! Vamos lá pra mais um probleminha de integral de linha! Nós queremos trabalhar com a seguinte integral:
E a nossa força pela integral que vemos no enunciado:
Tiramos que é dada por:
Encerrada essa pequena introduçãozinha; vamos pro que realmente interessa.
Olha só! Já sabemos que a primeira coisa que temos que fazer é parametrizar a curva, que no nosso caso, é a intersecção de duas superfícies.
Passo 2
Vamos analisar a primeira superfície:
E depois, dado que:
Bora substituir esse valor na nossa primeira equação:
Pronto! Tudo está em função de agora. A melhor coisa a se fazer então, é chamar esse de . Obtemos assim, a seguinte parametrização:
Passo 3
O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização que obtivemos.
Onde temos que:
Assim, nem precisamos fazer a troca, pois só tem números na nossa função vetorial:
Passo 4
Seguindo nosso raciocínio. O passo número quatro consiste em encontrar o termo fazendo:
Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de . Vamos lá:
Passo 5
Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:
Pera! Mas quais são os limites de integração?
Ora bolas! Para achar os valores que queremos, basta substituir valores em e ver quais valores correspondem aos pontos do enunciado. Bora lá:
Para :
Para :
Logo, nosso limite de integração vai de até :