Enunciado

Existe um número a tal que

lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2

exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.

Passo 1

Eaee, belezinha??

Bom... queremos saber se existe um número a para que o seguinte limite exista:

lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2

Caso exista, queremos saber também quando vale esse limite!!

Tem ideia de como fazemos isso?

Para isso, podemos analisar o denominador, com x → - 2 , ele se aproxima se 0 , então o limite só irá existir se o numerador também se aproximar de 0 .

Mas por quê??

Bom... porque assim iremos poder manipular a nossa função, se o numerador não tender a 0 quando x tende a - 2 o limite da função irá tender a ± ∞ , ou seja, não vai existir.

Assim o limite poderá ser calculado apenas se existir uma indeterminação 0 / 0 em x → - 2 , para isso acontecer nós podemos pegar o expressão do numerador, e calcular o limite dela e este deve ser igual a 0 :

lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 = 0

Bora lá!! 😉

Passo 2

Substiuindo o valor - 2 na expressão:

lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 = 3 - 2 2 + a - 2 + a + 3

lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 = - a + 15

Igualando o resultado a 0 , vamos obter

- a + 15 = 0

Resolvendo, temos que:

a = 15

Show?

Passo 3

Agora é só substituir o valor de a que acabamos de achar na solução, e ver se o limite existe:

lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + 15 x + 18 x 2 + x - 2

Não podemos aplicar o método de substituição agora pois temos uma indeterminação 0 / 0 , então vamos fatorar o numerador e o denominador para resolver o limite:

3 x 2 + 15 x + 18 = 3 x + 2 x + 3

x 2 + x - 2 = x - 1 x + 2

Substituindo no limite...

lim x → - 2 ⁡ 3 x + 2 x + 3 x - 1 x + 2

Simplificando x + 2 que aparece no numerador e no denominador, temos

lim x → - 2 ⁡ 3 ( x + 3 ) x - 1

Agora é só substituir o valor - 2 e pronto!!

lim x → - 2 ⁡ 3 x + 3 x - 1 = 3 - 2 + 3 - 2 - 1 = 3 - 3

lim x → - 2 ⁡ 3 x + 3 x - 1 = - 1

E fim! O que achou? Responde Aí!

Resposta

a = 15

lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + 15 x + 18 x 2 + x - 2 = - 1

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