Enunciado

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função.

f x = x 2 - x x 2 - 1 ,     x ≠ 1 1 ,     x = 1 ,               a = 1

Passo 1

Opa! O enunciado fornece uma função f e um ponto x = a e pede para justificarmos o motivo de f não ser contínua nesse ponto:

f x = x 2 - x x 2 - 1 ,     x ≠ 1 1 ,     x = 1 ,               a = 1

Aqui nós vamos perceber que o comportamento da função se altera de forma abrupta quando nos aproximamos de x = a , sendo que os limites laterais do lado esquerdo ( x → a - ) e pelo lado direito ( x → a + ).

Então para provarmos a descontinuidade em a = 1 , devemos calcular tanto o limite como o valor da função em x = a e compará-los.

Passo 2

Vamos calcular o limite de f quando x tende a 1 . Quando tomamos o limite, nos aproximamos de x = a = 1 por valores de x próximos de 1 porém nunca iguais a 1 . Então, a expressão que devemos usar para o limite é x 2 - x x 2 - 1 . Substituindo 1 na equação, teremos:

( 1 ) 2 - ( 1 ) ( 1 ) 2 - 1

Note que temos uma indeterminação do tipo 0/0. Para eliminá-la, vamos fatorar o numerador e o denominador.

x 2 - x = x   x - 1

x 2 - 1 = x - 1 ( x + 1 )

Passo 3

Assim, o limite fica:

lim x → 1 ⁡ f ( x ) = lim x → 1 ⁡ x 2 - x x 2 - 1 = lim x → 1 ⁡ x   ( x - 1 ) x - 1   ( x + 1 )

Como x ≠ 1 quando tomamos o limite, podemos simplificar o fator ( x - 1 ) de modo que o limite fica:

lim x → 1 ⁡ f x = lim x → 1 ⁡ x x + 1 = 1 1 + 1 = 1 2

Como f 1 = 1 ≠ lim x → 1 ⁡ f x , a função não é contínua em x = a = 1 .

Passo 4

Para esboçarmos o gráfico da função, começaremos traçando a parte da função dada pela expressão

x 2 - x x 2 - 1 ,                     x ≠ 1   .

Aqui teremos um comportamento suave e contínuo, sem saltos ou descontinuidade. No caso de x = 1 , marcamos um ponto no gráfico com coordenadas ( 1,1 ) , pois a função assume o valor 1 nesse ponto. Assim, teremos que o esboço do gráfico da função é:

Prontinho!

Resposta

R: demonstração e esboço de gráfico.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Prove, pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.f x = x em p = 4
Prove que f (x) = (1)/(x) é contínua em todo p != 0 .
Dê exemplo de uma função definida em R e que seja contínua em todos os pontos exceto nos inteiros.
Dê exemplo de uma função definida em R e que seja contínua em todos os pontos, exceto em - 1 , 0 e 1 .
Determine o conjunto dos pontos onde a função dada é contínua. f x = x s ex ∈ Q - xs ex ∉ Q