Enunciado

Expresse a integral ∭ E f x , y , z   d V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superfícies dadas.

y = x 2 ,           z = 0 ,           y + 2 z = 4

Passo 1

Faaaala pessoal, tudo bem com vocês?

Bora lá então!

A questão pede para expressarmos de 6 maneiras diferentes a integral tripla iterada na região E .

∭ E f x , y , z   d V

Onde E é limitado pelos sólidos:

y = x 2

    z = 0

      y + 2 z = 4

Vamos com calma agora! Pois precisamos expressar a integral em 6 maneiras distintas.

Primeiro você lembra né, que integral iterada é apenas uma forma de expressar que temos uma integral com mais de uma variável. No caso, temos as variáveis x , y e z .

Para ficar mais fácil de resolvermos, devemos fazer da seguinte forma. Vamos encontrar as possíveis regiões de integração. Como fazemos isso?

Vamos montar uma integral agora que irá servir como estratégia para as demais. Começamos isolando o y nas funções. Isolando o y , temos:

y = x 2

    z = 0

      y = 4 - 2 z

Observe que já temos o intervalo de integração em y :

x 2 ≤ y ≤ 4 - 2 z

Para saber qual função está por cima, é só assumirmos as outras variáveis x e z igual a zero e ver qual tem o maior valor de y .

Agora igualamos as duas funções y , assim temos:

x 2 = 4 - 2 z

x = ± 4 - 2 z

Observe que já obtemos um intervalo de integração para x , que é:

- 4 - 2 z ≤ x ≤ 4 - 2 z

Por fim, nos resta saber o intervalo de z . Foi dado no enunciado que z começa em zero:

    z = 0

Para saber seu valor máximo, vamos avaliar a expressão abaixo quando x vale zero:

x = ± 4 - 2 z

Vamos ter que:

0 = ± 4 - 2 z

0 = 4 - 2 z

z = 2

Logo, o intervalo de z é:

0 ≤ z ≤ 2

Assim, nossa região E 1 vai ser:

E 1 = x , y , z | - 4 - 2 z ≤ x ≤ 4 - 2 z   , x 2 ≤ y ≤ 4 - 2 z , 0 ≤ z ≤ 2  

Agora é só montar a integral. Mas lembre-se que primeiro integramos os limites com funções e por último o limite com números.

Dessa forma nossa primeira integral tripla vai ser:

∭ E 1 f x , y , z   d V

Substituindo, vamos ter:

∫ 0 2 ∫ - 4 - 2 z + 4 - 2 z ∫ x 2 4 - 2 z f x , y , z d y d x d z

Encontramos a primeira das 6 maneiras. Para as demais vamos fazer o mesmo processo, porem isolando outras variáveis.

É um processo que não é difícil, mas é bem chatinho porque envolve muita manipulação das equações, ficar substituindo uma na outra.

Borá lá encontrar as outras 5 maneiras!!

Passo 2

Vamos para a segunda maneira de escrever a integral tripla.

Se pegarmos a equação y = x 2 e isolarmos x encontramos que:

x 2 = y

x = ± y

Logo, temos a variação:

- y ≤ x ≤ y

Temos que y ≥ 0 , pois ele não pode assumir valores negativos.

Vamos utilizar a equação y + 2 z = 4 para determinar as variações de y e z , sendo que y ≥ 0 e z é limitado por z = 0 .

Isolando y temos

y = 4 - 2 z

Logo temos a variação:

0 ≤ y ≤ 4 - 2 z

E quando y = 0 temos a variação de z :

2 z = 4

z = 2

0 ≤ z ≤ 2

Portanto, nossa região E 2 fica:

E 2 = x , y , z |   - y ≤ x ≤ y ,   0 ≤ y ≤ 4 - 2 z , 0 ≤ z ≤ 2

Agora montamos a integral:

∭ E 2 f x , y , z   d V

Substituindo, vamos ter:

∫ 0 2 ∫ 0 4 - 2 z ∫ - y y f x , y , z d x d y d z

Passo 3

Vamos agora avaliar a terceira maneira de escrever a integral tripla.

Se na equação y + 2 z = 4 isolarmos z , temos:

2 z = 4 - y

z = 4 - y 2

Do enunciado sabemos que z = 0 , logo nosso intervalo de z é:

0 ≤ z ≤ 4 - y 2

Quando z = 0 , temos que:

0 = 4 - y

y = 4

E quando x = 0 , temos:

0 2 = y

y = 0

Logo o intervalo para y vai ser:

0 ≤ y ≤ 4

Assim, temos a seguinte região E 3

E 3 = x , y , z |   - y ≤ x ≤ y , 0 ≤ y ≤ 4 ,   0 ≤ z ≤ 4 - y 2

Agora montamos a integral:

∭ E 3 f x , y , z   d V

Substituindo, vamos ter:

∫ 0 4 ∫ 0 4 - y 2 ∫ - y y f x , y , z d x d z d y

Passo 4

Agora vai ser a quarta maneira de escrever a integral tripla.

Se isolarmos z na equação:

y + 2 z = 4

Já vimos que:

z = 4 - y 2

0 ≤ z ≤ 4 - y 2

A variação de y temos que:

y = x 2

E da intersecção do plano quando z = 0 , temos que:

0 = 4 - y 2

y = 4

Então temos a variação de y como:

x 2 ≤ y ≤ 4

E na intersecção:

x 2 = 4

x = ± 2

Logo, sabemos que o intervalo de x será:

- 2 ≤ x ≤ 2

Assim, nossa região E 4 vai ser:

E 4 = x , y , z | - 2 ≤ x ≤ 2 ,   x 2 ≤ y ≤ 4 ,   0 ≤ z ≤ 4 - y 2

Agora montamos a integral:

∭ E 4 f x , y , z   d V

Substituindo, vamos ter:

∫ - 2 2 ∫ x 2 4 ∫ 0 4 - y 2 f x , y , z d z d y d x

Passo 5

Agora vamos para a quinta maneira de expressar a integral tripla.

Se pegarmos y = x 2 e isolarmos x , vamos ter:

x 2 = y

x = ± y

Assim, o intervalo de x fica:

- y ≤ x ≤ y

Quando x = 0 :

x = ± y

y = 0

E quando z = 0 :

y + 2 z = 4

y = 4

Logo, o intervalo de y é:

0 ≤ y ≤ 4

Vamos isolar z na seguinte equação:

y + 2 z = 4

z = 4 - y 2

Do enunciado sabemos que z = 0 . Logo o intervalo para z é:

0 ≤ z ≤ 4 - y 2

Portanto, temos que nossa região E 5 é:

E 5 = x , y , z | - y ≤ x ≤ y , 0 ≤ y ≤ 4   ,   0 ≤ z ≤ 4 - y 2

Agora montamos a integral:

∭ E 5 f x , y , z   d V

Substituindo, vamos ter:

∫ 0 4 ∫ - y y ∫ 0 4 - y 2 f x , y , z d z d x d y

Passo 6

Agora vamos encontrar a sexta maneira.

Vamos isolar z na seguinte equação:

y + 2 z = 4

z = 4 - y 2

Do enunciado sabemos que z = 0 . Logo o intervalo para z é:

0 ≤ z ≤ 4 - y 2

Vamos isolar y na expressão:

y + 2 z = 4

y = 4 - 2 z

Sabemos do enunciado que:

y = x 2

Logo, o intervalo de y fica:

x 2 ≤ y ≤ 4 - 2 z

Para achar o intervalo de x , vamos fazer quando z = 0 . Logo, temos que:

y + 2 z = 4

y = 4

Agora substituímos y = 4 na expressão:

y = x 2

4 = x 2

x = ± 2

Assim, o intervalo de x é:

- 2 ≤ x ≤ 2

Portanto, temos que nossa região E 6 é:

E 6 = x , y , z |   - 2 ≤ x ≤ 2 , x 2 ≤ y ≤ 4 - 2 z ,   0 ≤ z ≤ 4 - x 2 2  

Agora montamos a integral:

∭ E 6 f x , y , z   d V

Substituindo, vamos ter:

∫ 2 - 2 ∫ 0 4 - x 2 2 ∫ x 2 4 - 2 z f x , y , z d y d z d x

Resposta

∫ 0 2 ∫ - 4 - 2 z + 4 - 2 z ∫ x 2 4 - 2 z f x , y , z d y d x d z

∫ 0 2 ∫ 0 4 - 2 z ∫ - y y f x , y , z d x d y d z

∫ 0 4 ∫ 0 4 - y 2 ∫ - y y f x , y , z d x d z d y

∫ - 2 2 ∫ x 2 4 ∫ 0 4 - y 2 f x , y , z d z d y d x

∫ 0 4 ∫ - y y ∫ 0 4 - y 2 f x , y , z d z d x d y

∫ 2 - 2 ∫ 0 4 - x 2 2 ∫ x 2 4 - 2 z f x , y , z d y d z d x

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Expresse a integral ∭ E f x , y , zd V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superfícies dadas. y = 4 - x 2 - 4 z 2 ,y = 0