Enunciado

Obtenha gráficos de f que revelem todos os aspectos importantes da curva. Em particular você deve usar os gráficos de f ' e f ' ' para estimar os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

f x = tan ⁡ x + 5 cos ⁡ x

Passo 1

Fala aí! como vai?

Nesse problema foi dada a função

f x = tan ⁡ x + 5 cos ⁡ x

E nosso objetivo é plotar os gráficos de f ' e f ' ' para estimar os intervalos de inclinação, concavidades, os pontos extremos e os pontos de inflexão...

Parece complicado?

A partir do gráfico de f ' podemos estimar os intervalos de inclinação de f pois essas duas coisas estão diretamente ligadas, ou seja, quando f ' > 0 a inclinação de f é positiva (crescente) e quando f ' < 0 a inclinação de f é negativa (decrescente).

Além disso, a partir de f ' podemos obter os pontos críticos, que são os possíveis valores extremos de f . Para obter os pontos críticos, temos que analisar os pontos onde f ' = 0 e para saber se esse ponto é um máximo ou um mínimo, temos que analisar f ' ' .

Por sua vez, f ' ' está diretamente ligada à concavidade de f , então se f ' ' > 0 a função f possui uma concavidade positiva (para cima) e quando f ' ' < 0 a concavidade de f é negativa (para baixo).

E por último, vamos analisar os pontos críticos encontrados em f ' = 0 ... se f ' ' < 0 o ponto é de máximo e se f ' ' > 0 o ponto é de mínimo. Já os pontos de inflexão acontecem quando f ' ' = 0 .

Show? Bora começar!

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada de f ...

f x = tan ⁡ x + 5 cos ⁡ x

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos

f ' x = sec 2 ⁡ x - 5 sin ⁡ x

Plotando o gráfico de f ' , temos

Como estamos trabalhando com funções periódicas, vamos analisar apenas o intervalo - 1,5 < x < 4,5 mas saiba que as características irão se repetir a cada ciclo...

Pelo que discutimos no passo 1, podemos estimar que f é crescente em - 1,5 < x < 0,2 , em 1,1 < x < 2,1 e em 2,9 < x < 4,5 pois f ' > 0 e é decrescente em 0,2 < x < 1,1 e em 2,1 < x < 2,9 pois f ' < 0 .

Além disso, temos quatro pontos críticos em f , que é justamente em x = 0,2 , x = 1,1 , x = 2,1 e x = 2,9 pois f ' = 0 nesses pontos.

Show?

Passo 3

Agora vamos repetir o processo para f ' ' ...

Pelo TFC novamente, temos

f ' ' x = - 5 cos ⁡ x + 2 sec 2 ⁡ x tan ⁡ x

Plotando o gráfico de f ' ' dentro do intervalo que estamos analisando, vamos obter

Perceba que aqui podemos estimar que no intervalo 0,9 < x < 4 a função f possui concavidade voltada para cima pois f ' ' > 0 nesse trecho... já quando - 1 , 5 < x < 0,9 e 4 < x < 4,5 a função f possui concavidade voltada para baixo pois f ' ' < 0 ...

Analisando os pontos críticos que encontramos no passo anterior, temos que em x = 0,2 f ' ' < 0 , logo x = 0,2 é um ponto de máximo em f . Já em x = 1,1 , x = 2,1 e x = 2,9 , temos que f ' ' > 0 então esses pontos são de mínimos em f .

E por último, temos apenas dois pontos de inflexão em x = 0,9 e x = 4 , que é onde f ' ' = 0 .

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Para confirmar essas estimativas, vamos plotar o gráfico de f ...

Aqui podemos confirmar os intervalos de inclinação, concavidades, os pontos extremos e os pontos de inflexão.

E fim! O que achou? Responde Aí!

Resposta

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