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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 13

Um fazendeiro quer cercar uma área de 15   000   m 2 em um campo retangular e então dividí-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retângulo. Como fazer isso de forma a minimizar o custo da cerca?

Passo 1

E aí, galerinha! 😉

Nesse problema temos uma questão de otimização em que temos uma área de 15   000   m 2 em um campo retangular e então dividimos ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retângulo. A partir daí nosso objetivo é minimizar o uso de cerca, ou seja, o perímetro da area.

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Seja o campo como na figura

Daí, temos que

x y = 15000

x = 15000 y

E

P = 3 x + 2 y

P = 45000 y + 2 y

P = 45000 + 2 y 2 y

Veja só! 😬

Passo 2

Para encontrarmos o mínimo de P basta derivarmos e igualar a zero

P ' = 4 y 2 - 45000 - 2 y 2 y 2 = 2 y 2 - 45000 y 2

Igualando a zero

2 y 2 - 45000 y 2 = 0

2 y 2 - 45000 = 0

2 y 2 = 45000

y 2 = 22500

y = 150   m

Encontrando x a partir da equação da area, temos

x = 15000 y

x = 15000 150 = 100   m

Logo, o perímetro mínimo é

P = 3 ⋅ 100 + 2 ⋅ 150 = 600 m

E aí! o que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

O fazendeiro deve delimitar a área com um comprimento de x = 100 m e uma largura de y = 150 m e dividí-la no meio, como mostra a figura

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