Enunciado

Use um computador para traçar o gráfico da superfície parametrizada. Imprima o resultado e indique sobre essa impressão quais são as curvas de grade que têm u constante e quais têm v constante.

x = s e n   u ,   y = cos ⁡ u   s e n   4 v ,   z = s e n   v

0 ≤ u ≤ 2 π   0 ≤ v ≤ 2 π

Passo 1

Fala, pessoal! De boa?

Aqui temos que usar um software para traçar o gráfico da superfície parametrizada por:

x = s e n   u

  y = cos ⁡ u   s e n   4 v

  z = s e n   v

Com as restrições:

0 ≤ u ≤ 2 π

E:

  0 ≤ v ≤ 2 π

Para isso, vamos usar o software GeoGebra.

Depois, vamos entender quais curvas de grade da nossa superfície tem a variável u como constante e quais tem v .

Passo 2

Usando a função superfície do GeoGebra com o seguinte input:

Conseguimos o gráfico:

Passo 3

Entendendo as linhas de grade:

  • u constante:
  • x = s e n   u (constante)

    y = cos ⁡ u   s e n   4 v (varia)

    z = s e n   v (varia)

    Padrão de onda (gráfico de seno) ao redor de y e z

  • v constante:

x = s e n   u (varia)

y = cos ⁡ u   s e n   4 v   (varia)

z = s e n   v (constante)

Padrão de onda (gráfico de seno e cosseno) ao redor de x e y

v constante

u constante

Resposta

Gráfico.

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Considere a superfície parametrizada por φ r ,θ =r cos ⁡ θ ,r sin ⁡ θ ,θ ,0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 4 π b) Encontre uma expressão para um vetor normal à superfície
Considere a superfície parametrizada por φ r , θ = r cos ⁡ θ ,r sin ⁡ θ , θ ,0 ≤ r ≤ 1 ,0 ≤ θ ≤ 4 π c) Essa superfície é regular?
b) Encontre um vetor normal a esta superfície
c) Encontre a equação do plano tangente em (x_0 , y_0 , 0) .