Enunciado

Leonhard Euler foi capaz de calcular a soma exata da série p com p = 2 :

�� x = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6

Utilize esse fato para encontrar a soma de cada série.

b) ∑ n = 3 ∞ 1 ( n + 1 ) ²

Passo 1

Hey!! Essa questão assim como a anterior, está pedindo para usar o fato de que Leonhard Euler foi capaz de calcular a soma exata da série harmônica generalizada com   p = 2 , dada por:

ζ x = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6

Usaremos esse resultado para encontrar a soma da série

∑ n = 3 ∞ 1 ( n + 1 ) ²

Beleza?!

Passo 2

Então galera, vamos analisar a série original:

∑ n = 3 ∞ 1 ( n + 1 ) ²

Para reescrever essa série de forma que comece a partir de   n = 4 , podemos fazer a substituição   m = n + 1 , o que implica n = m - 1 . Então, quando n = 3 , m = 3 + 1 = 4 . Assim, a série se torna:

∑ n = 4 ∞ 1 n ²

E agora, podemos ver que essa é a mesma série que a dada, porém com um novo índice de soma!! Portanto, podemos escrever:

∑ n = 3 ∞ 1 ( n + 1 ) ² = ∑ n = 4 ∞ 1 n ²

Passo 3

Agora pensa comigo! Nós não conhecemos o resultado da série quando se inicia com n = 4 , apenas com n = 1 . Dessa forma, para escrevermos-a com n = 1 basta retirarmos substraírmos os valores da série para n = 3 ,   2   e   1 , não é mesmo? Então vamos calcular para cada um desses n :

Para n = 1 :

1 1 ² = 1 1 = 1

Para n = 2 :

1 2 ² = 1 4

Para n = 3 :

1 3 ² = 1 9

E agora basta escrevermos a série com n = 1 e substraírmos os valores da série para n = 3 ,   2   e   1 :

∑ n = 4 ∞ 1 n 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 - 1 3 2 - 1 2 2 - 1 1 2

∴ ∑ n = 3 ∞ 1 ( n + 1 ) ² = π 2 6 - 49 36

Show de bola?!

Resposta

∑ n = 3 ∞ 1 ( n + 1 ) ² = π 2 6 - 49 36

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a série é convergente ou divergente.sum_(n = 1)^(oo) (3 n + 2)/(n (n + 1))
Determine se a série é convergente ou divergente.sum_(n = 2)^(oo) (1)/(n ln n)
Encontre os valores de p para os quais a série é convergente. ∑ n = 3 ∞ 1 n ln ⁡ n ln ⁡ n p
Determine se a série é convergente ou divergente.sum_(n = 3)^(oo) (n^2)/(e^n)
Determine se a série é convergente ou divergente.sum_(n = 1)^(oo) (ln n)/(n^3)