Enunciado

Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico.

y = ln ⁡ t g 2 x

Passo 1

O enunciado fornece a função e pede que localizemos as descontinuidades da função e esbocemos o seu gráfico.

y = ln ⁡ t g 2 x

Para isso, vamos utilizar os teoremas mostrados na seção do livro (teoremas 4, 5, 7 e 9).

O teorema 4 afirma que a soma, subtração, produto e quociente de funções contínuas é uma função contínua.

O teorema 5 afirma que todos os polinômios e funções racionais (quociente de polinômios) são funções contínuas em seus domínios.

O teorema 7 afirma que todas as funções raízes, trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciais e logarítmicas são contínuas em seus domínios.

Já o teorema 9 afirma que a composta de funções contínuas é contínua.

Vamos analisar os componentes da nossa função e assimilar os teoremas a cada um deles.

Veja só!

Passo 2

Pelo teorema 7, t g   x é uma função contínua em seu domínio.

Como produto de funções contínuas é uma função contínua (teorema 4), segue que t g 2 x é contínua em seu domínio.

Por fim, como ln ⁡ x é uma função contínua em seu domínio, segue que y é uma função contínua em seu domínio.

Sacou?

Passo 3

Como y é uma função contínua em seu domínio, suas descontinuidades serão os pontos que não pertencem ao domínio da função.

O domínio da função tangente são todos os números reais com excessão das raízes do cosseno:

… ,   - 3 π 2 , - π 2 , π 2 , 3 π 2 ,   …

Além disso, o domínio do logaritmo se restringe aos números positivos, de modo que é necessário que t g 2 x > 0 .

Todavia, t g 2 x é sempre um número não negativo, de modo que a relação t g 2 x > 0 só não será satisfeita se t g 2 x = 0 , ou ainda, se t g   x = 0 . Desta forma, devemos também excluir do domínio de y as raízes tangente que são

… ,   - 2 π ,   - π ,   0 ,   π ,   2 π ,   …

Todas as raízes do cosseno e da tangente podem ser escritas simultaneamente como n π / 2 , com n   ∈ Z . Assim, o conjunto dos pontos de descontinuidade de y é dado por

n π 2 ,       c o m   n ∈ Z

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Para esboçar o gráfico de y , vamos usar uma ferramenta gráfica.

y = ln ⁡ t g 2 x

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

n π 2 ,       c o m   n ∈ Z

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