Enunciado

Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.

(a) 5 , π , π / 2

(b) 4 ,   3 π / 4 , π / 3

Passo 1

Olá, galera! Tudo bem?

A questão quer que a gente marque, ou seja, localize um ponto em coordenadas esféricas e depois pede para encontrarmos o equivalente desse ponto em coordenadas retangulares:

As relações entre coordenadas esféricas ρ , θ , ϕ e coordenadas retangulares x , y , z são dadas da seguinte forma:

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ z = ρ cos ⁡ ϕ

Então, vamos precisar usar as equações acima para transformar nosso ponto em um ponto de coordenadas retangulares. Depois que tivermos esse ponto em coordenadas retangulares, fica mais fácil localizar ele, já que já estamos acostumados a pensar nos eixos x , y e z .

Bora!

Passo 2

  1. ρ , ϕ , θ = 5 , π , π / 2
  2. Para coordenadas retangulares, procuramos ( x , y , z ) , ou seja:

    x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ z = ρ cos ⁡ ϕ

    Substituindo:

    x , y , z = ( ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ , ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ , ρ )

    Substituindo pelos valores de cada variável pelo valor delas no ponto:

    x , y , z = 5 sen ⁡ π cos ⁡ π 2 , 5 sen ⁡ π sen ⁡ π 2 , 5 cos ⁡ π

    Fazendo esse cálculo:

    x , y , z = 0,0 , - 5

    Passo 3

    Repetindo o mesmo processo para:

  3. ρ , θ , ϕ = 4 ,   3 π / 4 , π / 3

Substituindo:

x , y , z = ( ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ , ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ , ρ cos ⁡ ϕ )

Substituindo pelos valores de cada variável pelo valor delas no ponto:

x , y , z = 4 sen ⁡ 3 π 4 cos ⁡ π 3 , 4 sen ⁡ 3 π 4 sen ⁡ π 3 , 4 cos ⁡ 3 π 4

Fazendo esse cálculo:

x , y , z = 2 , 6 , - 2 2

Passo 3

Como vimos no passo 1, é mais fácil localizarmos esses pontos usando seus valores em coordenadas retangulares. Esses pontos são localizados da seguinte forma:

  1. x , y , z = 0,0 , - 5
  2. Como os valores de x e y são nulos, nosso ponto se encontra em cima do eixo z , na parte negativa abaixo do plano x y :

  3. x , y , z = 2 , 6 , - 2 2

O ponto B vai estar abaixo do plano x y , já que tem seu valor de z negativo. Sua projeção vai estar no primeiro quadrante no plano x y já que seu valor para x e y são positivos.

Resposta

(a) 5 , π , π / 2 ↔ 0,0 , - 5

(b) 4 , 3 π 4 , π 3 ↔ 2 , 6 , - 2 2

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Descreva em palavras a superfície com a equação dada. ρ 2 - 3 ρ + 2 = 0
Esboce o sólido descrito pelas inequações:
Esboce o sólido descrito pelas inequações.12. 1 ≤ ρ ≤ 2 ,π / 2 ≤ ϕ ≤ π
Identifique a superfície com a equação dada. ρ = cos ⁡ ϕ
Esboce o sólido descrito pelas inequações: