Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 48

Mostre que

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 + y 2 + z 2   e - x 2 + y 2 + z 2   d x   d y   d z = 2 π

(A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da esfera aumenta indefinidamente.)

Passo 1

Fala, galera. Tudo belê?

Ele quer saber se o resultado da integral abaixo é igual a 2 π :

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 + y 2 + z 2   e - x 2 + y 2 + z 2   d x   d y   d z

Como dito no enunciado, a integral imprópria tripla é o limite da integral sobre uma esfera com o raio da esfera tendendo ao infinito.

Assim, em coordenadas esféricas, temos algumas equações que podemos utilizar

x = ρ s e n ϕ cos ⁡ θ y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ , z = ρ cos ⁡ ϕ ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2 d V = ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

Estamos trabalhando com ρ , θ , ϕ , onde ρ é a distância da origem ao ponto, θ é o ângulo formado em relação ao eixo x e ϕ é o ângulo formado em relação ao eixo z.

Portanto, podemos utilizar uma técnica que é separar as integrais conforme suas variáveis.

Logo:

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 + y 2 + z 2   e - x 2 + y 2 + z 2   d x   d y   d z

l i m a → ∞ ∫ 0 a ∫ 0 2 π ∫ 0 π ρ   e - ρ 2 ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ  

Organizando melhor:

lim a → ∞ ⁡ ∫ 0 a d ρ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π ρ 3 e - ρ 2   s e n   ϕ   d ϕ

Passo 2

Vamos calcular primeiro a integral e depois tomar o limite:

∫ 0 a d ρ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π ρ 3 e - ρ 2   s e n   ϕ   d ϕ =

2 π ∫ 0 a ρ 3 e - ρ 2   d ρ ∫ 0 π s e n   ϕ   d ϕ =

4 π ∫ 0 a ρ 3 e - ρ 2   d ρ

Para calcular essa integral, vamos fazer a mudança de variável t = - ρ 2 , assim d t = - 2 ρ   d ρ . Portanto,

∫ 0 a ρ 3 e - ρ 2   d ρ = 1 2 ∫ 0 - a 2 t   e t   d t

Essa nova integral é resolvida por partes fazendo u = t e d v = e t d t , assim d u = d t e v = e t :

∫ 0 a ρ 3 e - ρ 2   d ρ

1 2 t e t 0 - a 2 - 1 2 ∫ 0 - a 2 e t   d t

- 1 2 a 2 e - a 2 - 1 2 e - a 2 + 1 2

Assim,

1 2 1 - 1 + a 2 e - a 2

Quando a → ∞ , sabemos que 1 + a 2 e - a 2 → 0 (pode-se usar L’Hospital para mostrar isso):

lim x → ∞ ⁡ 1 + x   e - x = lim x → ∞ ⁡ 1 + x e x = lim x → ∞ ⁡ 1 e x = 0

Assim,

lim a → ∞ ⁡ ∫ 0 a d ρ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π ρ 3 e - ρ 2   s e n   ϕ   d ϕ

lim a → ∞ ⁡ 4 π ⋅ 1 2 1 - 1 + a 2 e - a 2

4 π ⋅ 1 2 = 2 π

Portanto,

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 + y 2 + z 2   e - x 2 + y 2 + z 2   d x   d y   d z = 2 π

Show de bola! 😊

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Identifique a superfície cuja equação é dada.rho = sen theta sen varphi
Escreva a equação em coordenadas esféricas.(a) x 2 - 2 x + y 2 + z 2 = 0 (b) x + 2 y + 3 z = 1
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.(a) 1,0 , 0 (b) 2 , π / 3 , π / 4
Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. ρ ≤ 2 ,0 ≤ ϕ ≤ π / 2 ,0 ≤ θ ≤ π / 2
Mude de coordenadas retangulares para esféricas.(a) 1 , 1 , 2 (b) - 3 , - 3 , - 2