Enunciado

Mostre que a curva polar r = 4 + 2 sec ⁡ θ (chamada conchoide) te a reta x = 2 como uma assíntota vertical mostrando que lim r →   ± ∞ ⁡ x = 2 . Use esse fato para ajudar a esboçar o conchoide.

Passo 1

Olá galera! Preparados para resolver esta questão?

Vamos fazer o seguinte. Vou te passar alguns passos que irão te ajudar a desenvolver a questão.

1 – Podemos colocar a equação polar em cartesiana.

2 – Analisar o limite de x quando r →   ± ∞ .

3 – Verificar a Assíntota.

4 – Fazer o esboço da curva.

Eai? Vamos começar!!!

Passo 2

A curva polar que ele nos deu foi:

r = 4 + 2 sec ⁡ θ

Escrevendo em função de c o s :

r = 4 + 2 cos ⁡ θ

como x = r c o s θ :

r = 4 + 2 x r → r = 4 + 2 r x

Logo,

r - 4 = 2 r x

Isolando o x :

x = 2 r r - 4

Para simplificar, vamos dividir toda expressão por r .

x = 2 r r r r - 4 r

x = 2 1 - 4 r

Passo 3

Agora vamos dar uma olhada no limite que ele nos disse.

L = lim r →   ± ∞ ⁡ x

Assim,

L = lim r →   ± ∞ ⁡ 2 1 - 4 r

Quando r tende para o infinito, a expressão 4 r tende a zero. Isso ocorre porque à medida que r se torna muito grande, o valor de 4 r diminuir e se aproxima de zero. Assim,

L = lim r →   ± ∞ ⁡ 2 1 = 2

Assim, vemos que x = 2 será uma assíntota vertical para nossa curva

Passo 4

Esboçando o gráfico, temos:

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce as regiões definidas pelas desigualdades de coordenadas polares nos Exercícios 37 e 38. 0 ≤ r ≤ 6 cos ⁡ θ
Encontre as áreas das regiões no plano de coordenadas polares descritas nos Exercícios 47-50.Dentro da “figura oito” r = 1 + cos 2θ e fora do círculo r = 1.
Encontre as áreas das regiões no plano de coordenadas polares descritas nos Exercícios 47-50.Delimitada pelo limaçon r = 2 - cos ⁡ θ .
Esboce as parábolas nos Exercícios 55-58. Inclua o foco e a diretriz em cada esboço. y 2 = 3 x
Relacione cada um dos gráficos nos Exercícios 39-46 com a equação apropriada (a)-(l). Há mais equações do que gráficos, portanto algumas equações não serão relacionadas.Limaçon