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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 4

Mostre que a distância do ponto x 0 , y 0 à reta de equação a x + b y + c = 0 é dada por a x 0 + b y 0 + c a 2 + b 2 .

Passo 1

A distância de um ponto x 0 , y 0 até um ponto x , y é dada por:

d 2 = x - x 0 2 + y - y 0 2

Note que quando a distância for mínima, então d 2 será mínima. Então, o que queremos aqui é determinar o mínimo da função

f x , y = x - x 0 2 + y - y 0 2

sujeito a restrição a x + b y + c = 0 . Assim, tomemos g x , y = a x + b y + c .

Passo 2

Para determinarmos o valor mínimo de f , tomemos o sistema:

∇ f x , y = λ ∇ g x , y g x , y = 0

Vamos calcular ∇ f x , y e ∇ g x , y :

  • ∇ f x , y = 2 x - x 0 ,   2 y - y 0
  • ∇ g x , y = a ,   b .

Sendo assim,

2 x - x 0 ,   2 y - y 0 = λ a , b a x + b y + c = 0 ⟹ 2 x - x 0 = λ a 2 y - y 0 = λ b a x + b y + c = 0

Da primeira equação, temos que

x = λ a 2 + x 0

Da segunda,

y = λ b 2 + y 0

Colocando esses valores na terceira equação, segue que:

a λ a 2 + x 0 + b λ b 2 + y 0 + c = 0 λ a 2 2 + a x 0 + λ b 2 2 + b y 0 + c = 0 λ = - 2 a x 0 + b y 0 + c a 2 + b 2

Passo 3

Dessa maneira, segue que

x - x 0 = λ a 2 x - x 0 = - a a x 0 + b y 0 + c a 2 + b 2

y - y 0 = λ b 2 y - y 0 = - b a x 0 + b y 0 + c a 2 + b 2

De modo

d 2 = x - x 0 2 + y - y 0 2 d 2 = a 2 a x 0 + b y 0 + c a 2 + b 2 2 + b 2 a x 0 + b y 0 + c a 2 + b 2 2 d 2 = a 2 + b 2 a x 0 + b y 0 + c 2 a 2 + b 2 2 d 2 = a x 0 + b y 0 + c 2 a 2 + b 2

Portanto,

d = a x 0 + b y 0 + c a 2 + b 2

como queríamos provar.

Resposta

Demonstração.

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Encontre a menor distância do ponto ( x 0 , y 0 ) à reta de equação a x + b y + c = 0 é dada por | a x 0 + b y 0 + c | a 2 + b 2 .
Determine os valores extremos de f sujeita a ambas as restrições. f x , y , z = 3 x - y - 3 z ;x + y - z = 0 , x 2 + 2 z 2 = 1
Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita às restrições dadas f x , y = e x y ;x 3 + y 3 = 16
(a) Se seu sistema de computação algébrica traça o gráfico de curvas definidas implicitamente, use-o para estimar os valores mínimo e máximo de f x ,y = x 3 + y 3 + 3 x y sujeita a x - 3 2 + y - 3 2 =
Determine os valores extremos de f na região descrita pela desigualdade f x , y = x 2 + y 2 + 4 x - 4 y ;x 2 + y 2 ≤ 9