Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.7 - Ex. 26
O número de células de levedura em uma cultura de laboratório aumenta rapidamente no início, mas eventualmente estabiliza. A população é modelada pela função
Em que é medido em horas. No instante a população é de células e está crescendo a uma taxa de . Encontre os valores de e . De acordo com este modelo, o que ocorre com a população de levedura depois de muito tempo?
Passo 1
Opa, bora lá!
Temos uma função que nos dá a polulação de bactérias em função do tempo:
Com medido em horas. Sabemos que:
Sabendo disso a gente tem que calcular e .
Basicamente vamos fazer em e para obter um sistema de e ...
Bora lá!
Passo 2
Vamos começar com ...
Calculando , temos
Agora, usaremos a informação da taxa de variação, o enunciado nos diz que .
Daí calculando e depois substituindo os valores, ficamos com
Pela regra do quociente, temos
Organizando um pouquinho mais
Na derivada de vamos ter que aplicar a regra da cadeia...
Calculando as derivadas
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora, fazemos :
Agora, sabemos que , e substituindo na equação acima, ficamos com
Simplificando:
Isolando em um lado da igualdade...
Show?
Passo 4
Agora, podemos calcular , pois
Podemos reescrever substituindo os valores que encontramos de e , daí ficamos com
Bacana, não é?
Passo 5
Agora, tomaremos o limite fazendo para que possamos entender o comportamento com o passar de muitoooo tempo:
Perceba que quando é muito grande, o termo tende a pois tende a . Ou seja
Então, podemos concluir que depois de muito tempo a população de levedura se estabiliza.
Prontinho! O que achou? Responde Aí!