Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.2 - Ex. 62
62.
a) Se , onde e tên derivadas de todas as ordens, mostre que
b) Encontre fórmulas análogas para e .
c) Conjecture uma fórmula para
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão tem três itens para gente responder, e no item a) foi dado que
sendo e funções deriváveis para qualquer ordem.
Queremos mostrar que:
Ou seja, precisaremos derivar nossa função duas vezes para obter sua derivada de segunda ordem e assim mostrar que ela terá esse resultado aí. Beleza?!
No item b) precisamos encontrar as expressões para a terceira e a quarta derivada de .
A terceira derivada podemos obter derivando a .
E para obtermos deveremos derivar . Então é exatamente isso que faremos. Ok?!
Já no item c) precisaremos conjecturar uma fórmula para a n-ésima derivada de . E para fazer isso, basta observarmos a lei de formação que segue no cálculo de cada derivada de que fizermos anteriormente.
Agora que já sabemos o que fazer em cada item, partiu desenvolvê-los.
Passo 2
a) Nos foi dado que
Queremos mostrar que:
Então temos que derivar a função duas vezes.
Perceba que ela é formada por um produto entre duas funções, sendo assim, sua derivada seguirá a regra do produto. Sendo:
Show, temos nossa primeira derivada. Agora para a segunda derivada, precisaremos derivar cada parcela dessa primeira derivada. Assim:
E fazendo cada uma delas, teremos:
E para:
Substituindo, ficamos com:
e podemos ver que os dois termos centrais são semelhantes, então podemos soma-los, ficando com:
Como queríamos provar.
Passo 3
Agora, no item b) precisamos encontrar as expressões para a terceira e a quarta derivada de .
A terceira derivada podemos obter derivando a .
Lembrando que
Então precisaremos aplicar a regra do produto para cada uma das três parcelas que temos na segunda derivada. Assim:
E fazendo cada uma delas, teremos:
E para:
e
Substituindo, ficamos com:
E reduzindo os termos semelhantes, ficaremos com:
Pronto, a terceira já foi!
E para obtermos deveremos derivar .
Para isso, usaremos quatro vezes a Regra do Produto, pois cada parcela de é um produto.
Então, teremos:
E fazendo cada uma delas, teremos:
E substituindo em nossa derivada, ficamos com:
Reduzindo os termos semelhantes, encontramos:
Ufa!
Passo 4
E finalmente chegamos ao item c). Aqui precisaremos conjecturar uma fórmula para a n-ésima derivada de .
E para fazer isso, basta observarmos a lei de formação que segue no cálculo de cada derivada de que fizermos anteriormente.
Por exemplo, na expressão de temos três parcelas enquanto que na expressão de temos quatro parcelas.
Observe, também, que para uma determinada derivada de as ordens das derivadas de crescem enquanto que as de decrescem. Há, também, parcelas intercalares com fator de multiplicação igual ao número da ordem de derivação.
A grande sacada aqui é perceber que os coeficientes que multiplicam cada termo vão variar de acordo com:
Isso tem ligação com o Binômio de Newton:
Se você reparar, o termo dentro do somatório é bem parecido com o que pensamos no início desse passo.
Então, dessa forma, podemos dizer que a n-ésima derivada de é:
E prontinho. Sei que essa foi mais puxada de fazer, mas espero ter ajudado você a endendê-la melhor.
Resposta
Demonstração.