Se f(x) = e^x * g(x) , onde g(0) = 2 e g'(0) = 5 , encontre f'(0) .

Passo 1

Fala aí, tudo belezinha com você?

Bom, essa questão aqui disse pra gente que

f x = e x g x

onde g 0 = 2 e g ' 0 = 5 . E pediu pra gente encontrar f ' 0 .

Ou seja, queremos a derivada da função f x no ponto x = 0 . Mas repare que a função f x é formada pelo produto de duas outras funções, sendo uma a função g x e a outra a função e x .

Para derivar funções que são expressas pela multiplicação entre duas outras funções podemos sempre usar a regra do produto. Assim, vamos fazer

f x = h x   ⋅ g x

Onde chamaremos h x = e x .

E a regra do produto será:

f ' = h ' g + h g '

Maravila, agora vamos usar todas as informações do enunciado para encontrar essa derivada aí. Beleza!!!

Passo 2

Como a regra do produto é dada por

f ' = h ' g + h g '

Precisaremos das funções h ( x ) , g ( x ) e de suas derivadas no ponto x = 0 .

O enunciado nos disse que

g 0 = 2

e

g ' 0 = 5

E podemos fazer:

h 0 = e 0 = 1

e

h ' x = e x

Então

h ' 0 = e 0 = 1

Agora que já temos tudo que precisamos, basta substituir diretamente na fórmula.

Passo 3

Assim, nossa derivada se torna:

f ' = h ' g + h g '

f ' 0 = h ' 0 g 0 + h ( 0 ) g ' 0

f ' 0 = 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 5 = 7

E prontinho, calculamos a derivada da função f x no ponto pedido.

Resposta

f ' 0 = 7

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