Uma piscina tem 20   p é s de largura por 40   p é s de comprimento, 3   p é s de profundidade na parte rasa, e 9   p é s na parte mais funda. Uma secção transversal está mostrada na figura. Se a piscina for preenchida a uma taxa de 0,8   p é s / m i n , quão rápido estará subindo o nível da água quando a sua profundidade no ponto mais profundo for de 5   p é s ?

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você??Vamos analisar o que nosso probleminha está falando.

Bom, ele nos diz que essa piscina tem esse formato doidão onde as bordas têm dimensão de 40   p é s (comprimento) e 20   p é s (largura) e que está enchendo tudo com água a uma taxa de 0,8   p é s 3 / m i n , e nos pede a velocidade que que a altura da água está quando o nível de água está à altura é de 5   p é s .

Tem ideia de como fazemos isso?

Bom, foi dada a taxa de enchimento em volume de água e queremos a taxa de variação da altura da água em um certo ponto.

O que podemos fazer é desenvolver uma função que descreva o volume de água em função da altura e a partir dessa função, aplicamos a derivada em função do tempo e substituímos os valores dados.

Parece complicado? Veja só!

Passo 2

Nosso primeiro passo vai ser achar o volume da piscina...

Queremos a velocidade da altura da água quando h = 5   p é s , então podemos desconsiderar aquela parte de cima da piscina e trabalhar apenas com aquela parte mais funda.

Perceba que a área lateral é uma forma de trapézio, portanto o volume dessa região será a area desse trapézio multiplicado pela largura da piscina.

V = A T · l

A área do trapézio é dada pela base maior + base menor · altura / 2 , ou seja, a base maior é b e a base menor é 12

V = b + 12 · h 2 · l

A largura l foi dado no enunciado como 20 ...

V = b + 12 · h 2 · 20

V = 10 b + 12 h

Perceba que não substituímos h e b pois não estamos calculando exatamente o volume da piscina, mas sim o volume de água na piscina... esses valores não são constantes conforme a piscina enche, então temos que tratá-los como variáveis...

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Temos que reescrever b em função de h pois não estamos interessados na base maior, mas sim na altura h .

Por semelhança de triângulos, teremos:

x h = 6 6

y h = 16 6

Onde x é a posição da parede da esquerda até a parte mais baixa, y   é do final da parte mais funda até a parede da direita e h é a altura da base b .

b = x + 12 + y = 12 + 11 h 3

Substituindo em V , temos

V = 10 b + 12 h = 10 12 + 11 h 3 + 12 h

V = 240 h + 110 h 2 3

Show?

Passo 4

Conseguimos desenvolver a função volume em relação a altura... agora derivamos em relação ao tempo para determinar a taxa de variação da altura...

d V d t = d 240 h + 110 h 2 3 d t = 240 d h d t + 110 3 d h 2 d t

h é uma função do tempo, então na derivada de h 2 vamos aplicar a regra da cadeia.

d h 2 d t = 2 h d h d t

Substituindo em d V d t

d V d t = 240 d h d t + 110 3 2 h d h d t

Queremos encontrar a variação de h no tempo, então vamos isolá-lo em um lado da igualdade

d V d t = 240 + 110 3 2 h d h d t

d h d t = 1 240 + 110 3 2 h d V d t

No enunciado foi dado que d V d t = 0,8   p é s 3 / m i n e queremos a variação da altura quando h = 5   p é s , logo

d h d t = 1 240 + 110 3 2 5 0,8

d h d t = 1,32 · 10 - 3   p é s / m i n

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

d h d t = 1,32 · 10 - 3     p é s / m i n

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