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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 3

Nos problemas 1-26, use a Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário

y ' + 4 y = e - 4 t ,       y 0 = 2

Passo 1

Oii, como vai? Vamos lá matar esse probleminha

Temos a equação diferencial:

y ' + 4 y = e - 4 t ,       y 0 = 2

Mas não vamos usar aqueles conceitos antigos para resolver essas equações ok? Vamos utilizar a Transformada de Laplace

Então, vamos fazer a transformada de Laplace da nossa equação, isolar o Y ( s ) e aí depois encontramos a transformada inversa, para termos y ( t )

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

y ' + 4 y = e - 4 t ,      

s . Y s - y 0 + 4 Y s = 1 s + 4

Sabemos do enunciado que y 0 = 2 , então:

s . Y s - 2 + 4 Y s = 1 s + 4

s . Y s + 4 Y s = 1 s + 4 + 2

s . Y s + 4 Y s = 1 s + 4 + 2 ( s + 4 ) s + 4

s . Y s + 4 Y s = 2 s + 9 s + 4

Colocando Y ( s ) em evidência:

Y s . ( s + 4 ) = 2 s + 9 s + 4

Y s = 2 s + 9 ( s + 4 ) ²

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

Y s = 2 s + 9 ( s + 4 ) ²

Expandindo em frações parciais:

2 s + 9 ( s + 4 ) ² = A s + 4 + B ( s + 4 ) ²

A . s + 4 + B = 2 s + 9

s . A + 4 A + B = 2 s + 9

Então temos o sistema:

A = 2 4 A + B = 9

De onde encontramos A = 2 e B = 1

Então:

Y ( s ) = 2 s + 4 + 1 ( s + 4 ) ²

Fazendo a transformada inversa dessas frações separadamente, encontramos:

y t = 2 e - 4 t + t . e - 4 t

Resposta

y t = 2 e - 4 t + t . e - 4 t

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