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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 25

Nos problemas 1-26, use a Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário

y ' ' + y = f t ,   e m   q u e   f t = 0 ,   0 ≤ t < π 1 ,   π ≤ t < 2 π 0 ,   t ≥ 2 π ,   y 0 = 0 ,       y ' 0 = 1

Passo 1

Oii, como vai? Vamos lá matar esse probleminha

Temos a equação diferencial:

y ' ' + y = f t ,   e m   q u e   f t = 0 ,   0 ≤ t < π 1 ,   π ≤ t < 2 π 0 ,   t ≥ 2 π ,   y 0 = 0 ,       y ' 0 = 1

Que podemos escrever assim:

y ' ' + y = u t - π - u t - 2 π ,       y 0 = 0 ,       y ' 0 = 1

Mas não vamos usar aqueles conceitos antigos para resolver essas equações ok? Vamos utilizar a Transformada de Laplace

Então, vamos fazer a transformada de Laplace da nossa equação, isolar o Y ( s ) e aí depois encontramos a transformada inversa, para termos y ( t )

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

y ' ' + y = u t - π - u t - 2 π

s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 ) + Y s = e - π s s - e - 2 π s s

Sabemos do enunciado que y 0 = 0 e y ' 0 = 1

s 2 . Y s - s . 0 - 1 + Y s = e - π s s - e - 2 π s s

Y s . s 2 - 1 + Y s = e - π s s - e - 2 π s s

Y s . s 2 + Y s = e - π s s - e - 2 π s s + 1

Colocando Y ( s ) em evidência:

Y s . s 2 + 1 = e - π s s - e - 2 π s s + 1

Y s = e - π s s s 2 + 1 - e - 2 π s s s 2 + 1 + 1 s 2 + 1

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

Y s = e - π s s s 2 + 1 - e - 2 π s s s 2 + 1 + 1 s 2 + 1

Expandindo em frações parciais, temos:

Y s = e - π s 1 s - s s 2 + 1 - e - 2 π s 1 s - s s 2 + 1 + 1 s 2 + 1

Fazendo a transformada inversa, de acordo com as informações do passo 1, temos:

y t = 1 - cos ⁡ t - π u t - π - 1 - cos ⁡ t - 2 π u t - 2 π + s e n ( t )

Resposta

y t = 1 - cos ⁡ t - π u t - π - 1 - cos ⁡ t - 2 π u t - 2 π + s e n ( t )

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Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial. f t = t . e t + ∫ 0 t τf t - τ d τ
Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial. f t = 2 t - 4 ∫ 0 t s e nτf t - τ d τ
Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial. t - 2 f t = ∫ 0 t ( e τ - e - τ ) f ( t - τ )d τ
Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial. y ' t = 1 - s e n t - ∫ 0 t y τ d τ , y 0 = 0
Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial. f t + ∫ 0 t f ( τ )d τ = 1