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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.Exercícios de Revisão - Ex. 33

Nos problemas 29-36, use a transformada de Laplace para resolver a equação dada

y ' - 5 y = f ( t )

Em que f t = t 2 ,   0 ≤ t < 1 0 ,   t ≥ 1 ,       y 0 = 1

Passo 1

Vamo que vamo

Temos essa equação diferencial:

y ' - 5 y = f ( t )

Em que f t = t 2 ,   0 ≤ t < 1 0 ,   t ≥ 1 ,       y 0 = 1

Podemos escrever isso assim:

y ' - 5 y = t 2 - t 2 . u ( t - 1 )

E para encontrar y ( t ) , vamos usar a transformada de Laplace ta bom, então o passo a passo é: fazer a transformada da equação inteira, isolar Y ( s ) e fazer a transformada inversa do que encontrarmos, fechou?

Ah, só pra lembrar, aqui tem algumas transformadas que podemos utilizar:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

L δ ( t + k ) = e k s

E também pode ser útil a propriedade de translação:

L e α . f t = F ( s - α )

Agora bora lá!

Passo 2

Vamos fazer a transformada da equação:

y ' - 5 y = t 2 - t 2 . u ( t - 1 )

s . Y s - y 0 - 5 Y s = 2 s 3 - s 2 + 2 s + 2 s 3 e - s

Sabemos que y 0 = 1

s . Y s - 1 - 5 Y s = 2 s 3 - s 2 + 2 s + 2 s 3 e - s

Y s . s - 5 = 2 s 3 - s 2 + 2 s + 2 s 3 e - s + 1

Então:

Y s = 2 s 3 s - 5 - s 2 + 2 s + 2 s 3 s - 5 e - s + 1 s - 5

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso, beleza?

Passo 3

Temos

Y s = 2 s 3 s - 5 - s 2 + 2 s + 2 s 3 s - 5 e - s + 1 s - 5

Que podemos escrever assim:

Y s = s 3 + 2 s ³ ( s - 5 ) - s 2 + 2 s + 2 s 3 s - 5 e - s

Expandindo em frações parciais, temos:

Y s = - 2 125 . 1 s - 2 25 1 s 2 - 1 5 . 2 s 3 + 127 125 . 1 s - 5 - - 37 125 . 1 s - 12 25 . 1 s 2 - 1 5 . 2 s 3 + 37 125 . 1 s - 5 e - s

Então podemos escrever:

y t = - 2 125 - 2 25 t - 1 5 t 2 + 127 125 e 5 t - - 37 125 - 12 25 t - 1 - 1 5 t - 1 2 + 37 125 e 5 t - 1 u t - 1

Showww, vamos pros próximos!!

Resposta

y t = - 2 125 - 2 25 t - 1 5 t 2 + 127 125 e 5 t - - 37 125 - 12 25 t - 1 - 1 5 t - 1 2 + 37 125 e 5 t - 1 u t - 1

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