Enunciado

Nos problemas 59 e 60 use a transformada de Laplace e o Teorema 7.7 para encontrar uma solução para a equação dada

t y ' ' + 2 t y ' + 2 y = 0 ,       y 0 = 0

Passo 1

Oieee, vamos lá?

Temos essa equação aqui:

t y ' ' + 2 t y ' + 2 y = 0 ,       y 0 = 0

E para encontrarmos sua solução, vamos usar a transformada de Laplace e também o teorema 7.7 aí do seu livro, que diz o seguinte:

L t n f t = - 1 n d n d s n F ( s )

Onde F s = L { f t }

Vamos também lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Agora sim, vamos lá!

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

t y ' ' + 2 t y ' + 2 y = 0

Como sabemos que L t n f t = - 1 n d n d s n F ( s ) , então

L t . y ' ' = - 1 1 d 1 d s 1 L { y ' ' }

E:

L 2 t . y ' = 2 . - 1 1 d 1 d s 1 L { y ' }

Dessa forma, a nossa transformada vai ficar assim:

- 1 . d d s . s 2 . Y s - s . y 0 - y ' 0 + 2 . ( - 1 ) d d s ( s . Y s - y 0 ) + 2 Y ( s ) = 0

Sabemos que y 0 = 0 :

- d d s . s 2 . Y s - y ' 0 - 2 d d s ( s . Y s ) + 2 Y ( s ) = 0

Passo 3

Temos

- d d s . s 2 . Y s - y ' 0 - 2 d d s ( s . Y s ) + 2 Y ( s ) = 0

Agora vamos derivar o que está dentro do parênteses.

No primeiro parênteses: Para o primeiro termo, vamos usar regra do produto, enquanto a derivada do termo y ' 0 vai zerar (é uma constante)

No segundo parênteses: temos o produto s . Y ( s ) , então também vamos usar regra do produto:

- d d s s 2 . Y s + s 2 . d d s Y s - 2 d d s s . Y s + s . d d s Y s + 2 Y ( s ) = 0

- 2 s Y s + s 2 . d d s Y s - 2 Y s + s . d d s Y s + 2 Y ( s ) = 0

- 2 s . Y s - s 2 . d d s Y s - 2 . Y s - 2 s . d d s Y s + 2 Y ( s ) = 0

Juntando os termos em comum:

- 2 s . Y s - s 2 . d d s Y s - 2 s . d d s Y s = 0

d d s Y s . - s 2 - 2 s - 2 s . Y s = 0

Multiplicando tudo por - 1 :

d d s Y s . s 2 + 2 s + 2 s . Y s = 0

Dividindo tudo por s 2 + 2 s :

d d s Y s + 2 s s 2 + 2 s . Y s = 0

d d s Y s + 2 s s . ( s + 2 ) . Y s = 0

d d s Y s + 2 ( s + 2 ) . Y s = 0

Aiaiaiai e vamos lá encontrar esse Y ( s ) através dessa equação diferencial

Passo 4

Ó que belezinha a equação diferencial que temos aqui:

d d s Y s + 2 ( s + 2 ) . Y s = 0

Embora a transformada de Laplace nos ajude justamente a não ter que utilizar aquelas técnicas do começo do livro, aqui no caso vamos ter que usar ta bom?

Isso aí é uma equação diferencial separável, vamos escrever assim:

d d s Y s = 2 ( s + 2 ) . Y s

1 Y s d Y s = 2 s + 2 d s

Integrando os dois lados:

ln ⁡ | Y s | = - 2 ln ⁡ s + 2 + c

Então:

Y s = e - 2 ln ⁡ s + 2 + c

Y s = e - 2 ln ⁡ s + 2 . e c

Chamando e c = c 1 :

Y s = e ln ⁡ s + 2 - 2 . c 1

Então:

Y s = 1 s + 2 2 . c 1

Uhuuu, agora é só encontrar a transformada inversa disso!!

Passo 5

A solução no domínio s é:

Y s = 1 s + 2 2 . c 1

Usando a propriedade de translação e de acordo com o que vimos lá no passo 1, a transformada inversa é:

y t = c 1 . t . e - 2 t

Resposta

y t = c 1 . t . e - 2 t

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