Enunciado

Quantos termos da série ∑ n = 2 ∞ 1 / n ln ⁡ n 2   você precisaria somar para encontrar sua soma com precisão de 0,01?

Passo 1

Bom, pessoal, o que o enunciado quer basicamente é que calculemos o valor n para que R n ≤ 0,005 .

Em outras palavras para que nossa estimativa do valor da soma de:

∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n 2

tenha uma variação máxima de 0,01.

Ou seja, um erro de, no máximo, 0,005 , de modo que se arredondaria o valor em ± 0,01 e, portanto, assegurando a precisão desejada.

Para calcular o erro R n , temos:

R n ≤ ∫ n ∞ f x d x

Caso não se lembre, quando temos uma integral imprópria, que é o nosso caso, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:

∫ 1 ∞ f ( x ) d x = lim n → ∞ ⁡ ∫ 1 n f ( x ) d x

Show de bola! Chega de blá-blá-blá e vamos calcular o R n .

Passo 2

Já sabemos que:

R n ≤ ∫ n ∞ f x d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ n t d x x ln ⁡ x 2

Pelo método da substituição escolhemos:

u = ln ⁡ x ∴ d u = d x x

Substituindo na integral, temos:

∫ d x x ln ⁡ x 2 = ∫ d u u 2 = - 1 u = - 1 ln ⁡ x

Voltando aos termos iniciais da nossa integral:

∫ d x x ln ⁡ x 2 = - 1 ln ⁡ x

Retornando à nossa integral imprópria, aplicarmos o limite no resultado da integral com seus limites de integração:

lim t → ∞ ⁡ ∫ n t d x x ln ⁡ x 2 = lim t → ∞ ⁡ - 1 ln ⁡ t - - 1 ln ⁡ n

Resolvendo o limite, temos que o primeiro termo vai para zero, pois seu denominador cresce muito. O segundo termo é constante, pois não depende de t e o valor do seu limite é seu próprio valor, então:

lim t → ∞ ⁡ - 1 ln ⁡ t - - 1 ln ⁡ n = 1 ln ⁡ n

Ou seja:

R n ≤ 1 ln ⁡ n

Como vimos no Passo 1, queremos que o nosso erro na aproximação seja menor que 0,005 . Logo,

R n ≤ 0,005 ∴ 1 ln ⁡ n ≤ 0,005

Resolvendo a inequação, temos:

ln ⁡ n ≥ 200 ↔ n ≥ e 200

Ou seja, precisaríamos de muitos termos para atingir essa precisão, o que não é nenhum pouco viável.

Resposta

n ≥ e 200

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