Enunciado

Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.

y ´ ´ - 4 y ´ + 4 y = x - s e n ( x )

Passo 1

Primeiramente nós solucionamos a equação característica da parte homogenia onde

r 2 - 4 r + 4 = 0 que tem solução r 1 = 2 = r 2     , a solução da parte homogenia será:

y h x = c 1 e r 1 x + c 2 x e r 1 x = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x

Passo 2

Agora utilizaremos as técnicas dos coeficientes à determinar chutando uma solução particular do tipo y p = A x + B + C c o s x + D s e n ( x )

Suas derivadas ficam y p ´ = A - C s e n x + D c o s ( x )

e y p ´ ´ = - C c o s x - D s e n ( x )

onde y ´ ´ - 4 y ´ + 4 y = x - s e n ( x )

substituindo y p   n ó s   t e r e m o s :

- C c o s x + D s e n x - 4 A - C s e n x + D c o s x + 4 A x + B + C c o s x + D s e n x =

= x - s e n ( x )

Agrupando em S e n x ,   C o s x ,   x   e   c o n s t a n t e nós termos

3 C - 4 D cos ⁡ x + 4 C + 3 D s e n x + 4 A x + 4 B - 4 A = x - s e n ( x )

De fato, nós temos uma igualdade então os dois lados têm que ser iguais assim:

4 A = 1

4 B - 4 A = 0

3 C - 4 D = 0

4 C + 3 D = - 1

Portanto A = 1 4 ; b = 1 4 ; C = - 4 25 ; D = - 3 25

y p = 1 4 x + 1 4 - 4 25 cos ⁡ x - 3 25 s e n x

A solução da equação diferencial não homogenia será:

y x = y h + y p = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x   + 1 4 x + 1 4 - 4 25 cos ⁡ x - 3 25 s e n x

Resposta

y x = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x   + 1 4 x + 1 4 - 4 25 cos ⁡ x - 3 25 s e n x

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