Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.4 - Ex. 17a
Para resolver os exercícios e , o aluno deve ter familiaridade com as equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.
Uma partícula partindo do ponto se move com vetor posição . Sabe-se que o vetor velocidade em cada instante é dado por .
- Mostre que, em cada instante , o vetor aceleração é paralelo ao vetor posição.
Passo 1
Show. Antes de mais nada, vale lembrar que, pra que e sejam paralelos, deve valer:
Onde é uma constante real qualquer. Beleza, agora, das definições, temos o seguinte:
E olha só, o enunciado dá pra gente uma informação de ouro pra resolver essa questão:
Isso tá estranho né? Mas da pra tirar informações valiosas disso! O próprio sistema de equações nos ajuda. Dá uma olhada nessa manipulação doida:
Derivando:
Da segunda linha do sistema de equações, trocamos e ficamos com:
Seguindo a mesma lógica, começando da segunda linha do sistema:
E da primeira linha, trocamos e ficamos com:
Logo:
E seja:
Fechamos então a questão!!! Afinal:
Resposta
Os vetores são paralelos pois vale