Enunciado

Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite de f ( x ) quando x tende a 1 , sabendo que para todo x , temos f x - 3 ≤ 2 x - 1 .

Beleza, vamos dar uma olhadinha melhor nesse módulo:

f x - 3 ≤ 2 x - 1

Isso é a mesma coisa que a gente escrever a função assim:

- 2 x - 1 + 3 ≤ f x ≤ 2 x - 1 + 3

E isso nos lembra uma das condições do Teorema do Confronto, certo? Temos uma função entre outras duas funções. Podemos dizer que g x = - 2 x - 1 + 3 e h x = 2 x - 1 + 3 . Assim, temos:

g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x )

E Teorema do confronto nos diz que, quando essa condição é atendida, e o limite das extremidades são iguais, então o limite da função que tá no meio também é igual.

Então, o que nós vamos fazer é calcular os limites de g x e h x , verificar se eles são iguais e teremos o limite de f ( x ) .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos calcular o primeiro limite, ele é simples, é só aplicar o valor:

lim x → 1 ⁡ - 2 x - 1 + 3

= - 2 1 - 1 + 3

= - 2 0 + 3 = 3

Agora resolvendo o limite de h ( x ) , temos:

lim x → 1 ⁡ lim x → 1 ⁡ 2 x - 1 + 3

= 2 1 - 1 + 3

= 2 0 + 3 = 3

Passo 3

Então, descobrimos que ambos os limites são iguais a 3 :

lim x → 1 ⁡ - 2 x - 1 + 3 = lim x → 1 ⁡ 2 x - 1 + 3 = 3

E pelo Teorema do Confronto podemos concluir que:

lim x → 1 ⁡ f ( x ) = 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 1 ⁡ f ( x ) = 3

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Sejam a , b e c reais fixos e suponha que, para todo x , a + b x + c x 2 ≤ x 3 . Prove que a = b = c = 0 .
Calcule, caso existe, lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 em que f é dada por f x = x 2 sen ⁡ 1 x s e x ≠ 0 0 s e x = 0
Seja f uma função definida em R tal que para todo x ≠ 1 , - x 2 + 3 x ≤ f xx 2 - 1 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.
Verifique que lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 1 x não existe.Calcule, caso exista, lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x . (Justifique)