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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.2 - Ex. 10

Seja y=f(x) e x = f^(- 1) (y) , verifique que (d x)/(d y) = (1)/((d y)/(d x))

f (x) = (3 x + 4)/(2 x + 6)

Passo 1

Primeiramente vamos achar (d y)/(d x) .

y = (3 x + 4)/(2 x + 6)

(d y)/(d x) = (10)/((2 x + 6)^2)

Passo 2

Agora vamos achar (d x)/(d y) .

y = (3 x + 4)/(2 x + 6)

Isolando x.

y (2 x + 6) = (3 x + 4)

2 y x + 6 y = 3 x + 4

2 y x - 3 x = - 6 y + 4

x (2 y - 3) = - 6 y + 4

x = (- 6 y + 4)/(2 y - 3)

(d x)/(d y) = ((2 x + 6)^2)/(10)

Resposta

Logo, vemos que (d x)/(d y) = (1)/((d y)/(d x)) .

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