Enunciado

Sejam f e g funções tal que f ∘ g x = x para todo x , f ' ( x ) e g ' ( x ) existem para todo x . Mostrar que f ' g x = 1 g ' ( x ) sempre que g ' ( x ) ≠ 0 .

Passo 1

Quando temos uma composição de funções, como descrito por f ∘ g x , que seja exatamente igual a x , já temos que saber que uma função é a inversa da outra. Logo, temos que g ( x ) é função inversa de f ( x ) , e vice-versa.

Então g ( x ) pode ser escrita como f - 1 ( x ) .

Passo 2

Podemos reescrever, então, f ∘ g x = x da seguinte forma:

[ f f - 1 x ] = x

Vamos agora derivar ambos os lados da sentença. Usando a regra da cadeia (derivamos de fora pra dentro), vamos ter a seguinte sentença:

f ' f - 1 x ∙ f - 1 x ' = 1

Passo 3

Isolamos o termo f ' f - 1 x de um lado da sentença e resultamos em:

f ' f - 1 x = 1 f - 1 x '

Mas já sabemos que f - 1 x equivale a g ( x ) , inversa de f ( x ) . Podemos reescrever a sentença assim:

f ' g x = 1 g ' ( x )

E, assim, fica provada a tese do enunciado. A sentença vai valer pra pontos em que g ' ( x ) não se anule, como também já descrito.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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