Enunciado

A sequência {n/(n + 1)} tem um menor limitante superior igual a 1. Mostre que se M é um número menor que 1, então os termos de {n/(n + 1)} finalmente excedem M. Sendo assim, se M  M sempre que n > N. Como n/(n + 1)

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Primeiramente vejamos o que o problema deseja:

Nós teremos que mostrar que para todo 0 < M < 1 então existe um inteiro N tal que para todo n > N temos que n n + 1 > M .

Agora sim, vamos a sua demonstração:

Para isso, vamos usar um pouco de manipulação matemática. Vamos começar adotando um N que seja maior que M 1 - M . Sendo assim, temos a seguinte relação:

n > N > M 1 - M

Multiplicando ambos os lados da desigualdade por 1 - M , logo:

n ( 1 - M ) > M

n - n M > M

Isolando M, obtemos:

n > M ( n + 1 )

n n + 1 > M

Agora, como provamos que para todo 0 < M < 1 nossa sequência eventualmente se torna maior que M, podemos concluir que 1 é de fato o limite superior de nossa sequência.

Como queríamos demonstrar.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a demonstração acima.

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