Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 46
Suponha derivável em tal que e . Prove que existem tais que, para todo em , . Interprete geometricamente.
Passo 1
Quando se diz que , isso significa que essas duas derivadas têm o mesmo sinal. Então, primeiro vamos analisar o caso em que e .
Em , a função é estritamente crescente, mas ela não pode crescer pra sempre, se não jamais voltaria a atingir o seu valor quando chegasse em .
Sendo assim, existe um valor máximo para nesse intervalo, de modo que existe tal que .
E pelo mesmo motivo, a função não pode decrescer para sempre, por ter que retornar ao valor em .
Ou seja, também existe um valor mínimo para nesse intervalo, de modo que existe tal que
Logo, existem e tais que nesse intervalo.
Passo 2
Agora, de modo muito análogo, vamos analisar o caso em que e .
Em , a função é estritamente decrescente, mas ela não pode decrescer pra sempre, se não jamais voltaria a atingir o seu valor quando chegasse em .
Sendo assim, existe um valor mínimo para nesse intervalo, de modo que existe tal que .
E pelo mesmo motivo, a função não pode crescer para sempre, por ter que retornar ao valor em .
Ou seja, também existe um valor máximo para nesse intervalo, de modo que existe tal que
Logo, existem e tais que nesse intervalo.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)