Enunciado

Suponha que um função f seja contínua no intervalo fechado [0,1] e que 0 ≤ f x ≤ 1 para qualquer x em [0,1]. Mostre que deve existir um numero c em [0,1], de modo que f c = c . (c é chamado de ponto fixo de f ).

Passo 1

Se f 0 = 0 ou f 1 = 1 , já acabamos a questão (ou seja, c = 0   ou c = 1 nesses casos). Então deixe f 0 = a > 0 e f 1 =   b < 1 porque 0 ≤   f x ≤ 1 . Defina g x = f x - x → g é contínuo em [0, 1]. Além disso, g 0 = f 0 -   0   = a > 0 e g   1 = f 1 - 1 = b - 1 < 0   → pelo Teorema do Valor Intermediário existe um número c em (0,1) tal que g   c =   0   - >   f c -   c = 0 ou f c = c .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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