Enunciado

Trace o gráfico e analise a continuidade da função

f x , y = sen ⁡ x y x y s e   x y ≠ 0 1 s e   x y = 0

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:

f x , y = sen ⁡ x y x y s e   x y ≠ 0 1 s e   x y = 0

Queremos traçar o seu gráfico e verificar a continuidade na função.

Para isso, iremos utilizar uma ferramenta gráfica para a plotagem e iremos comparar a continuidade da função com a figura.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Show de bola, galera! Agora vamos dar uma olhada no gráfico da nossa função para observar o seu comportamento.

Como podemos observar do gráfico, a nossa função é contínua para todo o R 2 .

Se pensarmos em pegar qualquer ponto x 0 , y 0 tal que x 0 ⋅ y 0 = 0 e definirmos uma função t x , y = x ⋅ y , calcularemos o seguinte limite:

lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ f x , y = lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ sen ⁡ x y x y

= lim t → 0 ⁡ sen ⁡ t t

Esse é um limite fundamental que o seu resultado é:

= 1

Dessa forma, percebemos que a nossa função é realmente contínua para todo o R 2 .

Perceba também que o resultado bate com o gráfico no ponto x , y = 0,0 , onde a função é igual a 1 .

Resposta

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37. Determine o maior conjunto no qual a função é contínua. f x , y = x 2 y 3 2 x 2 + y 2 s e( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 1 s ex , y = ( 0,0 )
38. Determine o maior conjunto no qual a função é contínua. f x , y = x y x 2 + x y + y 2 s e( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 s ex , y = ( 0,0 )