Enunciado

Use um computador para traçar o gráfico de f   e para achar f '   e   f ' ' . Use estes gráficos para estimar os intervalos crescentes e decrescentes, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão de f .

f x = x - tan - 1 ⁡ x 2

Passo 1

Fala aí, pessoal.

Bom, nessa questão teremos que usar um computador pra traçar o gráfico da função f ( x ) . Sendo:

f x = x - tan - 1 ⁡ x 2

E também para encontra as derivadas f ' e f ' ' .

A ideia é usar esses gráficos para estimar os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão de f .

Então vamos lembrar o que cada derivada conta pra gente.

A derivada de uma função é entendida como a inclinação da reta tangente a curva do gráfico da função.

Sabendo disso, podemos pensar que quanto mais positiva a derivada estiver, mais rapidamente a função original estará crescendo.

Assim:

Já a derivada de segunda ordem f ' ' x é a inclinação da reta tangente ao gráfico da primeira derivada e ela nos trará informações sobre o sentido da concavidade.

Assim:

O ponto de inflexão acontece onde a derivada de segunda ordem for igual a zero. Assim:

f ' ' x = 0

Agora que já sabemos de tudo isso, bora resolver essa questão.

Passo 2

Vamos começar usando o computador para plotar o gráfico da função f x .

Sendo:

f x = x - tan - 1 ⁡ x 2

Seu gráfico será:

Podemos ver que raiz real da função é:

f x = 0 → x = 0

Passo 3

Agora vamos para a primeira derivada, também usando um programa computacional, obtemos:

f ' x = 1 - 2 x x 4 + 1

E seu gráfico será:

As raízes reais de f ' ( x ) são:

x ≈ 0,54 ;           x = 1 ;    

Para encontrar intervalos crescentes e decrescentes, temos que analisar a primeira derivada da função, onde:

f ' x > 0 → c r e s c e n t e

f ' x < 0 → d e c r e s c e n t e

Vamos usar o gráfico e a definição acima para encontrar os intervalos crescentes e decrescentes:

Podemos observar pelo gráfico que a função é crescente:

f ' x > 0 → 1 - 2 x x 4 + 1 > 0

f ' x > 0 → x ∈ - ∞ ; 0,54 ∪ ( 1 ; ∞ )

E decrescente:

f ' x < 0 → 1 - 2 x x 4 + 1 < 0

f ' x < 0 → x   ∈ ( 0,54 ; 1 )

Passo 4

Para encontrar estes pontos, temos que conhecer as raízes de f ' x e avaliar se há troca de sinal de f ' x .  

Ou então avaliar o sinal da segunda derivada f ' ' x nas raízes de f ' x .

S e   f ' c = 0   e   f ' ' c > 0 → e n t ã o   c   é   p o n t o   d e   m í n i m o

S e   f ' c = 0   e   f ' ' c < 0 → e n t ã o   c   é   p o n t o   d e   m á x i m o

Vamos então calcular a segunda derivada de f x :

f ' ' x = 6 x 4 - 2 x 4 + 1 2

Suas raízes valem: x = - 1 3 4 ≈ - 0,76 ;           x = 1 3 4 ≈ 0,76 ;  

Plotando o gráfico, temos:

Checando então nas raízes de f ' x : x ≈ 0,54 ;           x = 1 ;    

      x ≈ 0,54 → f ' ' 0,54 < 0 → p o n t o   d e   m á x i m o

x ≈ 1 → f ' ' 1 > 0 → p o n t o   d e   m í n i m o

Passo 5

Para analisar a concavidade da função e achar seus intervalos, devemos usar a segunda derivada da função.

f ' ' x > 0 → c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a

f ' ' x < 0 → c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

Pontos de inflexão ocorrem na mudança de concavidade.

Vamos então usar os gráficos e a equação para ajudar a achar a concavidade. As raízes e as assíntotas podem ajudar a identificar:

f ' ' x = 6 x 4 - 2 x 4 + 1 2

Suas raízes valem: x = - 1 3 4 ≈ - 0,76 ;           x = 1 3 4 ≈ 0,76 ;  

Analisando os intervalos:

f ' ' x > 0 → x   ∈ - ∞ ; - 0,76 ∪ ( 0,76 ; ∞ )

f ' ' x < 0 → x   ∈ - 0,76 ; 0,76  

Logo, os intervalos são:

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a → x   ∈ - ∞ ; - 0,76 ∪ 0,76 ; ∞

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o → x   ∈ - 0,76 ; 0,76    

P o n t o s   d e   i n f l e x ã o →   x ≈ - 0,76 ;         x = 0,76 ;

Resposta

A função f x é:

Crescente:

x ∈ - ∞ ; 0,54 ∪ ( 1 ; ∞ )

E decrescente:

x   ∈ ( 0,54 ; 1 )

      x ≈ 0,54 → f ' ' 0,54 < 0 → p o n t o   d e   m á x i m o

x ≈ 1 → f ' ' 1 > 0 → p o n t o   d e   m í n i m o

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a → x   ∈ - ∞ ; - 0,76 ∪ 0,76 ; ∞

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o → x   ∈ - 0,76 ; 0,76    

P o n t o s   d e   i n f l e x ã o →   x ≈ - 0,76 ;         x = 0,76 ;

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