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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.1 - Ex. 26

Use diferenciação implícita para encontrar a inclinação da reta tangente à curva no ponto especificado e verifique se sua resposta está de acordo com o gráfico.

y 3 + y x 2 + x 2 - 3 y 2 = 0 ; ( 0 , 3 ) [trissectriz]

Passo 1

Bom galera, vamos começar derivando nossa equação:

y 3 + y x 2 + x 2 - 3 y 2 = 0

→ 3 y 2 d y d x + x 2 d y d x + 2 x y + 2 x - 6 y d y d x = 0

→ 3 y 2 + x 2 - 6 y d y d x = - ( 2 x y + 2 x )

→ d y d x = - 2 x y + 2 x 2 y 2 + x 2 - 6 y

Passo 2

Belezinha, agora vamos calcular a inclinação no ponto 0 ,   3 , com a nossa derivada:

d y d x = - 2 x y + 2 x 2 y 2 + x 2 - 6 y

→ d y d x = - 2 ( 0 ) ( 3 ) + 2 ( 0 ) 2 ( 3 ) 2 + ( 0 ) 2 - 6 ( 3 )

→ d y d x = 0

Passo 3

Show de bola, no gráfico notamos que a reta tangente é horizontal em ( 0,3 ) e, portanto, a inclinação é 0 , o que confirma o que encontramos.

Resposta

d y d x = 0

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