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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.2 - Ex. 44

Use a fórmula do exercício 43 para mostrar que

(f^(- 1))^(' ') (x) = - (f^(' ') (f^(- 1) (x)))/([f^' (f^(- 1) (x))]^3)

Passo 1

No exercício 43 chegamos na seguinte expressão para a derivada da inversa:

(f^(- 1))^' (x) = (1)/(f^' (f^(- 1) (x)))

Agora a questão pede para você usar essa expressão para achar a segunda derivada. Ora bolas, para achar a segunda derivada basta derivar a primeira derivada, não é? Então vamos fazer isso!

Podemos escrever:

(f^(- 1))^' (x) = [f^' (f^(- 1) (x))]^(- 1)

Derivando pela regra da cadeia:

(f^(- 1))^(' ') (x) = - [f^' (f^(- 1) (x))]^(- 2) * (f^' (f^(- 1) (x)))^'

Passo 2

Por outro lado, sabemos que

(f^' (f^(- 1) (x)))^' = f^(' ') (f^(- 1) (x)) * (f^(- 1) (x))^'

Note que você sabe uma fórmula para (f^(- 1) (x))^' , é a expressão do exercício 43:

(f^' (f^(- 1) (x)))^' = (f^(' ') (f^(- 1) (x)))/(f^' (f^(- 1) (x)))

Portanto,

(f^(- 1))^(' ') (x) = - (1)/([f^' (f^(- 1) (x))]^2) * (f^(' ') (f^(- 1) (x)))/(f^' (f^(- 1) (x)))

Assim,

(f^(- 1))^(' ') (x) = - (f^(' ') (f^(- 1) (x)))/([f^' (f^(- 1) (x))]^3)

Resposta

Demonstração.

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