Enunciado

(a) Use 4 para mostrar que, se s n é a n -ésima soma parcial da série harmônica, então

s n ≤ 1 + ln ⁡ n

(b) A série harmônica diverge, mas muito lentamente. Use a parte (a) para mostrar que a soma do primeiro milhão de termos é menor que 15 e a soma dos primeiros 10 9 termos é menor que 22 .

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo tranquilo?

Bom, vamos começar essa questão analisando a figura e tentando provar que:

s n ≤ 1 + ln ⁡ n

Ou seja, que a soma das áreas dos retângulos é menor ou igual a área abaixo dessa curva.

A equação (4) que o enunciado pede para usarmos é: a 2 + a 3 + … + a n ≤ ∫ 1 n f x d x

Depois com a expressão para s n em m��os, podemos mostrar o que a parte b) do enunciado pede.

Vamos passo a passo, então!

Passo 2

Vamos começar pela letra a)

  1. Galera, olha pra seguinte figura:
  2. Aqui podemos ver que a soma de todos os triângulos a n é menor ou igual que a área real abaixo da curva nesse intervalo dada por ∫ 1 n 1 x   d x .

    a 2 + a 3 + … + a n ≤ ∫ 1 n 1 x   d x

    Substituindo a n = 1 n , temos os termos e resolvendo a integral, temos:

    1 2 + 1 3 + 1 4 + … + 1 n ≤ ln ⁡ n

    Somando 1 aos dois lados da inequação, ficaremos com:

    1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + … + 1 n ≤ 1 + ln ⁡ n

    Como 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + … + 1 n = s n , ficamos com:

    s n ≤ 1 + ln ⁡ n

    Passo 3

    Finalizamos resolvendo nossa parte b)

  3. Usando o item anterior, obtemos:
  • a soma do primeiro milhão de termos é menor que 15 :
  • s 10 6 ≤ 1 + ln ⁡ 10 6 ≈ 14,82 < 15

  • a soma dos primeiros 10 9 termos é menor que 22 :

s 10 9 ≤ 1 + ln ⁡ 10 9 ≈ 21,72 < 22  

Resposta

Itens provados nos passos 2 e 3.

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