Enunciado

Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado

cos ⁡ x = x , ( 0,1 )

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação:

cos ⁡ x = x

Queremos provar através do Teorema do Valor Intermediário que existe uma raiz dessa equação no intervalo 0,1 .

Para ficar melhor de a gente entender, a gente pode transformar essa equação em uma função (você vai já entender o porquê):

f x = cos ⁡ x - x

Mas o que diz esse Teorema?? Bom... diz o seguinte:

“Se f for contínua em um intervalo fechado a , b , e seja N um número qualquer entre f a e f b , em que f a ≠ f b . Então existe um número c em a , b tal que f c = N ”.

Confuso né???

Em termos simples, vamos pegar o intervalo e substituir na nossa função.

Em seguida, vamos verificar se o zero da função (que é uma raiz) está de acordo com o intervalo dado.

Pelo Teorema do Valor intermediário, devemos ter o seguinte:

f a < f c < f b

Ou

f b < f c < f a

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Aplicando x = 0 na equação, temos:

f 0 = cos ⁡ 0 - 0 = 1

Aplicando x = 1 na equação, temos:

f 1 = cos ⁡ 1 - 1 = - 0,0001523

Como   - 0,0001523 < 0 < 1 , então, pelo Teorema do Valor Intermediário, no intervalo ( 0 ,   1 ) há um número c tal que f c = 0 .

Resposta

Como   - 0,0001523 < 0 < 1 , então, pelo Teorema do Valor Intermediário, no intervalo ( 0 ,   1 ) há um número c tal que f c = 0 .

Dessa forma, existe uma raiz de f ( x ) no intervalo 0 ,   1 .

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