Enunciado

Use o teorema do valor intermediário para mostrar que existe uma raiz no intervalo especificado para a equação dada.

ln ⁡ x = x - x

2,3

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:

ln ⁡ x = x - x

No intervalo:

( 2,3 )

Queremos utilizar o teorema do valor intermediário para mostrar que existe uma raiz no intervalo especificado.

Mas que teorema é esse???

Bom... esse teorema nos diz que:

“Suponha que f é uma função contínua em um intervalo fechado [ a , b ] e y é um número real que está entre f ( a ) e f ( b ) . Então, existe pelo menos um número c no intervalo aberto ( a , b ) tal que f ( c ) = y .”

Bora aplicar nessa nossa questão para entendermos melhor!! 😉

Passo 2

Podemos reescrever a equação em questão como:

f x = ln ⁡ x - x + x

Sabemos que f ( x ) é contínua no intervalo [ 2,3 ] (só não iria ser contínua se tivéssemos um ln ⁡ 0 , mas 0 não está no intervalo especificado), e como:

f 2 = ln ⁡ 2 - 2 + 2 = 0,107

f 3 = ln ⁡ 3 - 3 + 3 = - 0,169

Como f 3 < 0 e f 2 > 0 então, pelo teorema do valor intermediário, existe um número c no intervalo ( 2,3 ) de tal forma que f c = 0 .

Resposta

Demonstração

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