Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.5 - Ex. 55
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que verifiquemos, através o Teorema do Valor Intermediário, se existe uma raiz da equação
No intervalo aberto . Mas que teorema é esse?
Vamos considerar uma função que é contínua no intervalo fechado . Então se a gente pegar um número tal que:
Em que . Então deve existir um número dentro do intervalo de modo que:
Na prática a gente quer provar que existe um entre e , então vamos organizar a expressão acima na forma de uma função e depois verificar se ela é contínua no intervalo dado!
Depois vamos calcular e e verificar se um resultado é positivo e outro negativo. Assim provamos que existe uma raiz dentro desse intervalo!
Passo 2
Temos a expressão:
Passando a parte direita pra dentro da igualdade:
Na função acima o pode assumir qualquer valor no intervalo e também em e em . Então ela é contínua no intervalo fechado .
Passo 3
Agora vamos calcular e :
Aplicando na equação, temos:
Aplicando na equação, temos:
Como , então, pelo Teorema do Valor Intermediário, no intervalo há um número tal que .
Prontinho!
Resposta
Como , então, pelo Teorema do Valor Intermediário, no intervalo há um número tal que . Dessa forma, existe uma raiz de no intervalo