Enunciado

Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ n - 0,3

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bem?

A questão pede para encontrarmos através do teste da integral se nossa série:

∑ n = 1 ∞ n - 0,3

Converge ou diverge.

O Teste da Integral consiste em calcular a integral imprópria:

∫ 1 ∞ f ( x ) d x = lim n → ∞ ⁡ ∫ 1 n f ( x ) d x

Onde:

f x = x - 0,3 = 1 x 0,3

No nosso caso, teremos:

∫ 1 ∞ 1 x 0,3 d x = lim n → ∞ ⁡ ∫ 1 n 1 x 0,3 d x

Se essa integral convergir, nossa série também converge. Caso contrário, nossa série diverge.

Lembrando que para aplicar o teste da integral nossa função precisa cumprir alguns requisitos: deve ser contínua, positiva e decrescente no intervalo da série [ 1 , ∞ ) .

Bora lá?

Passo 2

Para começar, que tal verificarmos se essa série cumpre os requisitos para aplicarmos nosso teste? Primeiro de tudo, vamos olhar para a função:

f x = x - 0,3 = 1 x 0,3

Essa função é contínua, pois não temos restrições para os valores que ela pode assumir no intervalo [ 1 , ∞ ) .

A função é positiva pois os valores de x nesse intervalo são positivos e nossa função não retornará valores negativos.

Olhando para a função, vemos que será decrescente pois conforme x vai crescendo, x 0,3 vai ficando cada vez maior que 1 e os valores da função ficam cada vez menores.

Logo, podemos usar o teste da Integral para definir a convergência!

Passo 3

Vamos escrever a integral imprópria:

∫ 1 ∞ 1 x 0,3 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t 1 x 0,3 d x

Resolvendo a integral temos:

∫ 1 ∞ 1 x 0,3 d x = lim t → ∞ ⁡ x 0,7 0,7 1 t

Aplicando os limites de integração t e 1 :

lim t → ∞ ⁡ x 0,7 0,7 1 t = l i m t → ∞ t 0,7 0,7 - 1 0,7 0,7

Agora calculando de fato o limite. Sabemos que quando t tem expoente maior que zero, quando t → ∞ , t 0,3   também vai tender ao infinito. Então:

l i m t → ∞ t 0,7 0,7 - 1 0,7 0,7 = ∞

Ou seja:

∫ 1 ∞ 1 x 0,3 d x = ∞

Como a integral é divergente, então, pelo Teste da Integral, a série ∑ n = 1 ∞ n - 0,3 é divergente!

Resposta

A série é divergente!

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