Enunciado

Utilize o Teorema de Clairaut para mostrar que, se as derivadas parciais de terceira ordem de f forem contínuas, então:

f x y y = f y x y = f y y x

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... o enunciado quer que demonstremos que, se as derivadas parciais de terceira ordem de f forem contínuas, então podemos dizer que:

f x y y = f y x y = f y y x

Para isso, devemos utilizar o Teorema de Clairaut.

Mas o que diz esse Teorema??

Bom... Pelo Teorema de Clairaut, assim como discutido na seção 14.3 do Stewart, temos que se duas funções forem contínuas, então:

f x y = f y x

Ou seja, não importa a ordem de derivação!!

Agora vamos aplicar para três variáveis!! 😉

Passo 2

Utilizando esse raciocínio para o nosso caso de três variáveis, temos que:

f x y y = f x y y = f y x y

Esse termo é a mesma coisa que:

f x y y = f y x y = f y x y

Passo 3

Esse último termo, f y x y , também pode ser visto como:

f y x y = f y x y = f y y x

E veja só!!! Também podemos dizer que:

f y x y = f y y x = f y y x

Os colchetes foram utilizados para enfatizar os momentos em que o Teorema em questão foi utilizado, tudo bem? Sendo assim, fica provado que, de fato:

f x y y = f y x y = f y y x

Resposta

Demonstração

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