Enunciado

Considere a curvatura em x = 0 para cada membro da família de funções f ( x ) = e c x . Para quais membros κ ( 0 ) é maior?

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz para considerar uma curvatura em x = 0 para cada membro da família de funções f ( x ) = e c x .

Queremos saber para quais membros κ ( 0 ) é maior.

Para isso, precisamos saber que:

κ x = f ' ' x 1 + f ' x 2 3 / 2

Assim, basta determinarmos as derivadas f ' x e f ' ' x , substituir nessa fórmual e depois fazer x = 0 e analisarmos os membros de κ 0 que vão ser maiores.

Passo 2

Determinando as derivadas, temos:

f ' x = c e c x

f ' ' x = c 2 e c x

Substituindo em κ x , temos:

κ x = c 2 e c x 1 + c e c x 2 3 / 2 ∴

κ x = c 2 e c x 1 + c 2 e 2 c x 3 / 2

Fazendo κ 0 , temos:

κ 0 = c 2 e c ⋅ 0 1 + c 2 e 2 c ⋅ 0 3 2 ∴

κ 0 = c 2 1 + c 2 3 2

Passo 3

Para determinar o valor máximo de κ 0 , vamos fazer a seguinte função para em seguida derivar e igualar a zero:

f c = c 2 1 + c 2 3 2

Derivando a expressão pela regra da divisão, temos:

f ' c = 1 + c 2 3 2 ⋅ c 2 ' - c 2 ⋅ 1 + c 2 3 2 ' 1 + c 2 3 2 2 ∴

f ' c = 1 + c 2 3 2 ⋅ 2 c - c 2 ⋅ 3 2 ⋅ 2 c ⋅ 1 + c 2 1 2 1 + c 2 3 ∴

f ' c = 2 c - c 3 1 + c 2 5 / 2

Igualando a zero, temos:

2 c - c 3 = 0 ∴

c 2 - c 2 = 0

Assim, obtemos c = 0 ou c = ± 2 .

Passo 4

Percebemos que a derivada f ' c será positiva quando

c < - 2

E

0 < c < 2

Assim, o máximo valor ocorrerá quando c = ± 2 .

Trazendo para κ 0 , seus membros serão maiores quando:

f x = e 2 x

E

f x = e - 2 x

Resposta

f x = e 2 x

f x = e - 2 x

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