Enunciado

Uma massa m desliza de cima para baixo por um plano ligeiramente inclinado a partir de uma altura vertical h , formando um ângulo α com a horizontal.

a) O trabalho realizado por uma força é a soma do trabalho realizado pelos componentes da força. Considere os componentes da gravidade paralela e perpendicular à superfície do plano. Calcule o trabalho realizado sobre a massa por cada um dos componentes e use esses resultados para mostrar que o trabalho realizado pela gravidade é exatamente o

mesmo, caso a massa tivesse caído diretamente de cima para baixo pelo ar, de uma altura h .

b) Use o teorema do trabalho energia para provar que a velocidade escalar da massa na base da inclinação seria a mesma, caso tivesse sido solta da altura h , independentemente do ângulo α da inclinação. Explique como essa velocidade escalar pode ser independente do ângulo da inclinação.

c) Use os resultados do item (b) para determinar a velocidade escalar de uma rocha que desliza de cima para baixo por uma colina coberta de gelo e sem atrito, partindo do repouso de um ponto que está 15,0   m acima da base.

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos um objeto de massa m deslizando em um plano inclinado da seguinte forma:

O trabalho em relação à componente paralela ao plano vai ser calculado usando a componente m g   s e n ( α ) da força peso. E o deslocamento, em termos de α e h é d = h / s e n ( α ) , daí o trabalho paralelo vai ser:

W ∥ = F . d . cos ⁡ 0 = m g s e n α . h s e n α = m g h

O trabalho perpendicular vai ser dado usando a componente perpendicular da força m g c o s ( α ) . E quanto ao deslocamento? Bom, ele é zero nesse caso! Porque a bola desliza sobre o plano inclinado e não tem deslocamento na vertical. O trabalho perpendicular então é zero W ⊥ . O trabalho total vai ser a soma:

W = W ∥ + W ⊥ = m g h + 0  

W = m g h

Então mostramos que o trabalho realizado pela gravidade é exatamente o mesmo, caso a massa tivesse caído diretamente de cima para baixo pelo ar, de uma altura h .

Passo 2

Agora a gente tem que provar que a velocidade final do objeto independe do ângulo α usando o teorema do trabalho energia.

Usando o teorema:

W = K 2 - K 1

E considerando que a massa foi solta do topo do plano, a energia cinética inicial K 1 é zero. Reescrevendo a energia cinética final em termos da velocidade temos uma relação entre ela e a altura inicial:

W = m v 2 2

m g h = m v 2 2

v = 2 g h

E essa é a velocidade que encontramos com as equações de movimento e não depende do ângulo de inclinação, apenas da altura vertical inicial.

Passo 3

Usando a expressão pra velocidade v = 2 g h     e com h = 15 m vamos determinar a velocidade:

v = 2 g h

v = 2.9,8.15 = 17,1 m / s

Resposta

a ) W = W ∥ + W ⊥ = m g h

b ) v = 2 g h

c ) 17,1 m / s

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